$$ \left. \begin{array} { l } { 137 \frac { x - 2 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } + 4 } d x } \ { u ^ { 2 } = ( x + 1 ) ^ { 2 } \quad a ^ { 2 } = 4 \quad a = 2 \quad d u = d x } \ { u = x + 1 \quad x = u - 1 } \ { \int \frac { u - 1 - 2 } { u ^ { 2 } + 14 } d x } \ { \int \frac { u } { u ^ { 2 } + 4 } d u + \int \frac { - 3 } { u ^ { 2 } + a ^ { 2 } } d u } \ { \frac { 1 } { 2 } \ln | ( x + 1 ) ^ { 2 } + 4 | + c - 3 \int \frac { 1 } { a ^ { 2 } + u ^ { 2 } } d u } \ { \frac { 1 } { 2 } \ln | ( x + 1 ) ^ { 2 } + 4 | - 3 ( \frac { 1 } { 2 } ) \operatorname { Tan } ^ { - 1 } ( \frac { x + 1 } { 2 } ) + c } \ { \frac { 1 } { 2 } \ln | ( x + 1 ) ^ { 2 } + 4 | - \frac { 3 } { 2 } \operatorname { Tan } ^ { - 1 } ( \frac { x + 1 } { 2 } ) + c / 1 } \end{array} ight. $$

Question

$$ \left. \begin{array} { l } { 137 \frac { x - 2 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } + 4 } d x } \ { u ^ { 2 } = ( x + 1 ) ^ { 2 } \quad a ^ { 2 } = 4 \quad a = 2 \quad d u = d x } \ { u = x + 1 \quad x = u - 1 } \ { \int \frac { u - 1 - 2 } { u ^ { 2 } + 14 } d x } \ { \int \frac { u } { u ^ { 2 } + 4 } d u + \int \frac { - 3 } { u ^ { 2 } + a ^ { 2 } } d u } \ { \frac { 1 } { 2 } \ln | ( x + 1 ) ^ { 2 } + 4 | + c - 3 \int \frac { 1 } { a ^ { 2 } + u ^ { 2 } } d u } \ { \frac { 1 } { 2 } \ln | ( x + 1 ) ^ { 2 } + 4 | - 3 ( \frac { 1 } { 2 } ) \operatorname { Tan } ^ { - 1 } ( \frac { x + 1 } { 2 } ) + c } \ { \frac { 1 } { 2 } \ln | ( x + 1 ) ^ { 2 } + 4 | - \frac { 3 } { 2 } \operatorname { Tan } ^ { - 1 } ( \frac { x + 1 } { 2 } ) + c / 1 } \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Se tiene la integral

∫ (x – 2)/[(x + 1)² + 4] dx.

Para resolverla, se realizó el siguiente procedimiento:

1. Se usa el cambio de variable u = x + 1, de donde se tiene du = dx y además x = u – 1.

2. Al sustituir en la integral, el numerador queda:
  x – 2 = (u – 1) – 2 = u – 3,
y el denominador se transforma en u² + 4. Así, la integral se reescribe como

∫ (u – 3)/(u² + 4) du.

3. Se separa esta integral en dos partes:
  ∫ u/(u² + 4) du – 3 ∫ 1/(u² + 4) du.

4. Para el primer término, se utiliza la sustitución w = u² + 4, con dw = 2u du, lo que lleva a

∫ u/(u² + 4) du = (1/2) ∫ dw/w = (1/2) ln|w| + C = (1/2) ln|u² + 4| + C.

5. Para el segundo término se reconoce la integral estándar
  ∫ du/(u² + a²) = (1/a) tan⁻¹(u/a) + C,
con a² = 4, entonces a = 2. Se tiene

∫ du/(u² + 4) = (1/2) tan⁻¹(u/2) + C,
y por lo tanto
  – 3 ∫ du/(u² + 4) = – (3/2) tan⁻¹(u/2) + C.

6. Regresando a la variable original (recordando que u = x + 1), se obtiene la solución general:

(1/2) ln|(x + 1)² + 4| – (3/2) tan⁻¹((x + 1)/2) + C.

Este es el resultado final de la integración.
La integral se resuelve utilizando sustitución y se obtiene: $$ \frac{1}{2} \ln |(x + 1)^2 + 4| - \frac{3}{2} \arctan\left(\frac{x + 1}{2}\right) + C $$

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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