11. (ITA 2007) Se as medidas dos lados de um triângulo obtusângulo estão em progressão geométrica de razão \( r \), então \( r \) pertence ao intervalo a) \( (0,(1+\sqrt{2}) / 2) \) b) \( ((1+\sqrt{2}) / 2, \sqrt{(1+\sqrt{5}) / 2}) \) c) \( ((\sqrt{5}-1) / 2,(\sqrt{5}+1) / 2) \) d) \( ((1+\sqrt{5}) / 2, \sqrt{2+\sqrt{2} / 2}) \) e) \( (\sqrt{2+\sqrt{2 / 2}},(2+\sqrt{3}) / 2) \)

Para que as medidas dos lados de um triângulo obtusângulo estejam em progressão geométrica, precisamos considerar a relação entre os lados \(a\), \(ar\) e \(ar^2\) (onde \(a\) é o menor lado e \(ar^2\) é o maior). Um triângulo será obtusângulo se o quadrado do maior lado for maior que a soma dos quadrados dos outros dois lados, ou seja, \( (ar^2)^2 > a^2 + (ar)^2 \). Isso nos leva a uma inequação envolvendo \(r\). Ao resolver essa inequação, conseguimos determinar o intervalo em que \(r\) deve estar para que a condição do triângulo obtusângulo seja satisfeita. Essa abordagem nos permite excluir as opções que não atendem à condição, enquanto nos orientamos a encontrar a resposta correta na lista. A resposta correta se encontra na alternativa b), onde \( r \) fica no intervalo \( \left(\frac{1+\sqrt{2}}{2}, \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right) \). Isso indica que o triângulo obtusângulo pode ter lados em progressão geométrica que são suficientemente maiores para manter a condição obtusa, mas ainda assim viáveis para formar um triângulo.