\( y=2 x^{2}-5 x+2 \) \( y=-3 x^{2}+4 x+3 \)\( \quad \) ANALÍTico

Solve the system of equations by following steps: - step0: Solution: \(\left\{ \begin{array}{l}2x^{2}-5x+2+3x^{2}-4x-3=0\\0=0\end{array}\right.\) - step1: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{9+\sqrt{101}}{10}\cup x=\frac{9-\sqrt{101}}{10}\\x \in \mathbb{R}\end{array}\right.\) - step2: Find the intersection: \(x=\frac{9+\sqrt{101}}{10}\cup x=\frac{9-\sqrt{101}}{10}\) - step3: Check the solution: \(x=\frac{9+\sqrt{101}}{10}\cup x=\frac{9-\sqrt{101}}{10}\) - step4: Rewrite: \(x_{1}=\frac{9-\sqrt{101}}{10},x_{2}=\frac{9+\sqrt{101}}{10}\) Para resolver el sistema de ecuaciones dado: 1. **Ecuaciones**: - \( y = 2x^{2} - 5x + 2 \) - \( y = -3x^{2} + 4x + 3 \) 2. **Igualar las ecuaciones**: Igualamos ambas ecuaciones para encontrar los puntos de intersección: \[ 2x^{2} - 5x + 2 = -3x^{2} + 4x + 3 \] 3. **Reorganizar la ecuación**: Sumamos \(3x^{2}\), restamos \(4x\) y restamos \(3\) de ambos lados: \[ 2x^{2} + 3x^{2} - 5x - 4x + 2 - 3 = 0 \] Esto se simplifica a: \[ 5x^{2} - 9x - 1 = 0 \] 4. **Resolver la ecuación cuadrática**: Usamos la fórmula cuadrática \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\) donde \(a = 5\), \(b = -9\), y \(c = -1\). Calculamos el discriminante: \[ b^{2} - 4ac = (-9)^{2} - 4(5)(-1) = 81 + 20 = 101 \] Ahora, aplicamos la fórmula: \[ x_{1} = \frac{9 - \sqrt{101}}{10}, \quad x_{2} = \frac{9 + \sqrt{101}}{10} \] 5. **Resultados**: Los valores de \(x\) donde las dos parábolas se intersectan son: \[ x_{1} = \frac{9 - \sqrt{101}}{10}, \quad x_{2} = \frac{9 + \sqrt{101}}{10} \] Estos son los puntos de intersección de las dos ecuaciones cuadráticas.