\begin{tabular}{l|l} & Exercice 2:(5 pts) \\ \cline { 2 - 3 } (0.5) & 1. Vérifiez que -2 est une racine du polynome \( P(x) \) \\ (2) & 2. En effectuant la division euclidienne de \( P(x) \) par \( x+2 \) \\ & Déterminez un polynome \( Q(x) \) tel que \( P(x)=(x+2) Q(x) \) \\ (0.5) & 3. Vérifiez que \( \frac{-1}{2} \) est une racine du polynome \( Q(x) \) \\ (2) & 4. Factoriser \( Q(x) \) puis \( P(x) . \quad \) Résoudre \( x \in \mathbb{R} \quad P(x) \leq 0 \)\end{tabular}

On vous propose ci-dessous une correction détaillée d’un exercice dont la démarche est la suivante. Dans notre solution, nous admettrons que le polynôme à étudier est   P(x) = 2x³ – x² – 13x – 6. On remarquera que l’énoncé nous demande de montrer que –2 est racine de P, puis d’effectuer la division euclidienne par (x + 2) pour obtenir un polynôme Q tel que   P(x) = (x + 2) · Q(x). Enfin, il faut montrer que –½ est racine de Q, factoriser Q et P puis résoudre l’inéquation P(x) ≤ 0. ───────────────────────────── 1. Vérification que –2 est une racine de P(x) Calculons P(–2) :   P(–2) = 2(–2)³ – (–2)² – 13(–2) – 6       = 2(–8) – 4 + 26 – 6       = –16 – 4 + 26 – 6       = (–16 – 4) + (26 – 6)       = –20 + 20       = 0. Donc, –2 est bien une racine de P. ───────────────────────────── 2. Division euclidienne de P(x) par (x + 2) On réalise la division de P(x) par (x + 2). Cherchons un polynôme Q de degré 2 tel que   P(x) = (x + 2) · Q(x). Procédons par division : • On écrit P(x) = 2x³ – x² – 13x – 6. • Division :   – Le premier terme du quotient est obtenu en divisant 2x³ par x, ce qui donne 2x².    Multipliant (x + 2) par 2x² on a : 2x³ + 4x².    Soustraction : (2x³ – x²) – (2x³ + 4x²) = –5x².   – On abaisse ensuite –13x pour obtenir –5x² – 13x.    Diviser –5x² par x donne –5x.    Multipliant (x + 2) par –5x on a : –5x² – 10x.    Soustraction : (–5x² – 13x) – (–5x² – 10x) = –3x.   – On abaisse le terme constant –6 pour obtenir –3x – 6.    Diviser –3x par x donne –3.    Multipliant (x + 2) par –3 on a : –3x – 6.    Soustraction : (–3x – 6) – (–3x – 6) = 0. Le quotient est donc :   Q(x) = 2x² – 5x – 3. ───────────────────────────── 3. Vérification que –½ est une racine de Q(x) Calculons Q(–½) :   Q(–½) = 2(–½)² – 5(–½) – 3       = 2(¼) + (5/2) – 3       = ½ + 2,5 – 3       = 3 – 3       = 0. Donc, –½ est bien racine de Q. ───────────────────────────── 4. Factorisation de Q(x) puis de P(x) et résolution de l’inéquation P(x) ≤ 0 a) Factorisation de Q(x) : On souhaite factoriser Q(x) = 2x² – 5x – 3. Pour trouver les racines, on utilise la formule quadratique :   x = [5 ± √(25 + 24)]/(2×2) = [5 ± √49]/4 = [5 ± 7]/4. Les solutions sont :   x₁ = (5 + 7)/4 = 12/4 = 3  et  x₂ = (5 – 7)/4 = (–2)/4 = –½. On peut donc écrire :   Q(x) = 2(x – 3)(x + ½). Il est usuel de réécrire ce facteur en sorte d’éviter la fraction. En remarquant que 2(x + ½) = 2x + 1, on a :   Q(x) = (2x + 1)(x – 3). b) Factorisation de P(x) : On avait P(x) = (x + 2) · Q(x). Par conséquent :   P(x) = (x + 2)(2x + 1)(x – 3). c) Résolution de l’inéquation P(x) ≤ 0. On doit résoudre :   (x + 2)(2x + 1)(x – 3) ≤ 0. Les racines (zéros de P) sont :   x = –2, x = –½ (puisque 2x + 1 = 0 ⇔ x = –½) et x = 3. Ces valeurs divisent la droite réelle en 4 intervalles. Pour déterminer le signe de P(x) sur chacun d’eux, construisons un tableau de signes :   Facteurs :     x + 2     2x + 1     x – 3     P(x) 1. Pour x < –2 (par exemple x = –3) :   x + 2 : –3 + 2 = –1 (négatif)   2x + 1 : 2(–3) + 1 = –6 + 1 = –5 (négatif)   x – 3 : –3 – 3 = –6 (négatif)   Produit : (–)(–)(–) = – (négatif) 2. Pour –2 < x < –½ (par exemple x = –1) :   x + 2 : –1 + 2 = 1 (positif)   2x + 1 : 2(–1) + 1 = –2 + 1 = –1 (négatif)   x – 3 : –1 – 3 = –4 (négatif)   Produit : (+