Modelación
(5) Halla las razones trigonométricas de un ángulo de
y de otro de . Para ello, coma un triángulo
equilátero de lado a y divídelo en dos por una de
sus alturas.

Ask by Burns Munoz. in Colombia

Mar 13,2025

Question

Modelación
(5) Halla las razones trigonométricas de un ángulo de
y de otro de . Para ello, coma un triángulo
equilátero de lado a y divídelo en dos por una de
sus alturas.

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Para hallar las razones trigonométricas de los ángulos de $$ 30^{\circ} $$ y $$ 60^{\circ} $$ utilizando un triángulo equilátero, sigamos estos pasos:

1. **Dibuja un triángulo equilátero**: Consideremos un triángulo equilátero con lados de longitud $$ a $$.

2. **Divide el triángulo**: Al trazar una altura desde un vértice hacia el lado opuesto, dividimos el triángulo en dos triángulos rectángulos. La altura también actúa como bisectriz del ángulo en el vértice.

3. **Identifica los ángulos**: En cada uno de los triángulos rectángulos formados, los ángulos son $$ 30^{\circ} $$ y $$ 60^{\circ} $$. Esto se debe a que en un triángulo equilátero, cada ángulo mide $$ 60^{\circ} $$, y al dividirlo por la altura, se forma un ángulo de $$ 30^{\circ} $$ en la base.

4. **Calcula la altura**: La altura $$ h $$ de un triángulo equilátero se puede calcular usando la fórmula:
   $$
   h = \frac{\sqrt{3}}{2} a
   $$

5. **Calcula las razones trigonométricas**:
   - Para el ángulo $$ 30^{\circ} $$:
     - $$ \sin(30^{\circ}) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{h}{a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
     - $$ \cos(30^{\circ}) = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{\frac{1}{2} a}{a} = \frac{1}{2} $$
     - $$ \tan(30^{\circ}) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \frac{h}{\frac{1}{2} a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a}{\frac{1}{2} a} = \sqrt{3} $$

- Para el ángulo $$ 60^{\circ} $$:
     - $$ \sin(60^{\circ}) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{a}{a} = 1 $$
     - $$ \cos(60^{\circ}) = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{h}{a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
     - $$ \tan(60^{\circ}) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \frac{a}{\frac{1}{2} a} = 2 $$

6. **Resultados finales**:
   - Para $$ 30^{\circ} $$:
     - $$ \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} $$
     - $$ \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
     - $$ \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

- Para $$ 60^{\circ} $$:
     - $$ \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
     - $$ \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} $$
     - $$ \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} $$

Así, hemos encontrado las razones trigonométricas de los ángulos $$ 30^{\circ} $$ y $$ 60^{\circ} $$ utilizando un triángulo equilátero.
Las razones trigonométricas para $$ 30^{\circ} $$ son: - Seno: $$ \frac{1}{2} $$ - Coseno: $$ \frac{\sqrt{3}}{2} $$ - Tangente: $$ \frac{1}{\sqrt{3}} $$ Para $$ 60^{\circ} $$ son: - Seno: $$ \frac{\sqrt{3}}{2} $$ - Coseno: $$ \frac{1}{2} $$ - Tangente: $$ \sqrt{3} $$

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