\( 2 x^{2}-5 x-12 \geqslant 0 \) Por diferencia de cuadrados

Queremos resolver la desigualdad   2x² – 5x – 12 ≥ 0 utilizando el método de diferencia de cuadrados. Existen dos vías: la factorización directa y la transformación al formato de diferencia de cuadrados completando el cuadrado. A continuación se muestran ambos métodos. ───────────────────────────── 1) FACTORIZACIÓN DIRECTA Buscamos dos números cuyo producto sea (2 · –12 = –24) y que sumen –5. Notamos que –8 y 3 cumplen:   –8 · 3 = –24  y  –8 + 3 = –5. Separamos el término medio:   2x² – 8x + 3x – 12 = (2x² – 8x) + (3x – 12). Sacando factor común en cada grupo:   2x(x – 4) + 3(x – 4). Factoreamos (x – 4):   (2x + 3)(x – 4) ≥ 0. Los ceros son:   2x + 3 = 0 ⟹ x = –3/2   x – 4 = 0  ⟹ x = 4 Analizando intervalos (o mediante sistema de signos) se concluye que el producto es no negativo para:   x ≤ –3/2 o x ≥ 4. ───────────────────────────── 2) MÉTODO POR DIFERENCIA DE CUADRADOS Para expresar la desigualdad en forma de diferencia de cuadrados, procedemos a completar el cuadrado de la expresión 2x² – 5x – 12. Primero, multiplicamos la desigualdad por 8 (valor positivo, no altera el sentido) para facilitar el proceso:   8(2x² – 5x – 12) = 16x² – 40x – 96 ≥ 0 Concentrémonos en la parte cuadrática:   16x² – 40x = 16(x² – (5/2)x). Completemos el cuadrado en el paréntesis. Recordamos que:   x² – (5/2)x = (x – 5/4)² – (5/4)² = (x – 5/4)² – 25/16. Multiplicamos por 16:   16[(x – 5/4)² – 25/16] = 16(x – 5/4)² – 25. Entonces,   16x² – 40x – 96 = 16(x – 5/4)² – 25 – 96 = 16(x – 5/4)² – 121. Observa que 16(x – 5/4)² se puede escribir como:   [4(x – 5/4)]² = (4x – 5)². Por ello, la desigualdad multiplicada se convierte en:   (4x – 5)² – 121 ≥ 0. Reconociendo 121 como 11², es una diferencia de cuadrados:   (4x – 5)² – 11² ≥ 0   ⟺ (4x – 5 – 11)(4x – 5 + 11) ≥ 0   ⟺ (4x – 16)(4x + 6) ≥ 0. Dividiendo por 2 (o bien, revisando los factores) llegamos nuevamente a los ceros:   4x – 16 = 0 ⟹ x = 4   4x + 6 = 0 ⟹ x = –3/2 La desigualdad (al regresar a la original, dividiendo por 8, factor positivo) se traduce en:   |4x – 5| ≥ 11 lo cual implica:   4x – 5 ≥ 11    ó   4x – 5 ≤ –11. Resolviendo cada caso: Caso 1: 4x – 5 ≥ 11   4x ≥ 16   x ≥ 4. Caso 2: 4x – 5 ≤ –11   4x ≤ –6   x ≤ –3/2. ───────────────────────────── CONCLUSIÓN La solución de la desigualdad 2x² – 5x – 12 ≥ 0 es:   x ≤ –3/2 o x ≥ 4.