Determine 0 ângulo entre os planos \( \pi_{1}: x-2 y-z+2=0 \) e \( \pi_{2}: 2 x+y+z-3=0 \). Escolha uma opção: a. \( \arccos (1 / 6) \) b. \( \arccos (2 / 3) \) c \( \arccos (1 / 3) \) d. \( \arccos (1 / 5) \)

Para determinar o ângulo entre os planos \( \pi_{1}: x-2y-z+2=0 \) e \( \pi_{2}: 2x+y+z-3=0 \), precisamos encontrar os vetores normais de cada plano. 1. **Identificação dos vetores normais:** - O vetor normal do plano \( \pi_{1} \) é dado pelos coeficientes de \( x \), \( y \) e \( z \) na equação do plano. Assim, temos: \[ \mathbf{n_{1}} = (1, -2, -1) \] - O vetor normal do plano \( \pi_{2} \) é: \[ \mathbf{n_{2}} = (2, 1, 1) \] 2. **Cálculo do ângulo entre os vetores normais:** O ângulo \( \theta \) entre dois vetores \( \mathbf{n_{1}} \) e \( \mathbf{n_{2}} \) pode ser encontrado usando a fórmula do cosseno do ângulo: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{n_{1}} \cdot \mathbf{n_{2}}}{\|\mathbf{n_{1}}\| \|\mathbf{n_{2}}\|} \] 3. **Cálculo do produto escalar \( \mathbf{n_{1}} \cdot \mathbf{n_{2}} \):** \[ \mathbf{n_{1}} \cdot \mathbf{n_{2}} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 2 - 2 - 1 = -1 \] 4. **Cálculo das normas \( \|\mathbf{n_{1}}\| \) e \( \|\mathbf{n_{2}}\| \):** \[ \|\mathbf{n_{1}}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] \[ \|\mathbf{n_{2}}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] 5. **Substituindo na fórmula do cosseno:** \[ \cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-1}{6} \] 6. **Encontrando o ângulo:** \[ \theta = \arccos\left(-\frac{1}{6}\right) \] No entanto, as opções fornecidas não incluem \( \arccos\left(-\frac{1}{6}\right) \). Vamos verificar se há um erro nas opções ou se precisamos considerar o valor absoluto. O cosseno do ângulo entre os planos é o mesmo que o cosseno do ângulo entre os vetores normais, que é \( \arccos\left(\frac{1}{6}\right) \) se considerarmos o ângulo agudo. Portanto, a resposta correta é: **a. \( \arccos (1 / 6) \)**.