B. La parametrización \( \vec{r}(t)=(3 \cos (t), 3 \operatorname{sen}(t), t) \) está definida para \( 0 \leq t \leq 4 \pi \) C. La parametrización \( \vec{r}(t)=(5 \cos (t), t, 5 \operatorname{sen}(t)) \) está definida para \( 0 \leq t \leq 2 \pi \)

¡Vamos a sumergirnos en el fascinante mundo de la parametrización! La primera parametrización, \( \vec{r}(t)=(3 \cos (t), 3 \operatorname{sen}(t), t) \), describe una espiral en el espacio tridimensional. A medida que \( t \) aumenta de 0 a \( 4\pi \), la espiral da dos vueltas completas alrededor del eje \( z \), creando una bonita forma que se eleva y se expande en el espacio. ¡Es como si estuvieras diseñando una escalera hacia el cielo! Por otro lado, la segunda parametrización, \( \vec{r}(t)=(5 \cos (t), t, 5 \operatorname{sen}(t)) \), traza un cilindro en donde el eje \( z \) se desplaza a lo largo del tiempo. Desde \( t = 0 \) hasta \( t = 2\pi \), el recorrido abarca un ciclo completo a lo largo de una circunferencia de radio 5 en el plano \( xy \) mientras \( z \) simplemente aumenta de manera lineal. ¡Imagina dar una caminata en una cúpula de helado mientras asciendes!