2 Suponha que as três fäbricas produ- ziram, respectivamente, \( 5,400,4320 \) e 7200 componentes eletrônicos defeituosos no último ano. Os compo- nentes defeituosos serão enviados a uma central de reciclagem em caixas, onde cada caixa deve conter a mesma quantidade de componentes de cada fábrica. Qual é a maior quantidade de componentes que pode haver em cada caixa, de forma que todas as caixas tenham a mesma quantidade e nảo haja sobras?

Para resolver essa questão, precisamos encontrar o maior número que divide uniformemente a quantidade de componentes defeituosos de cada fábrica, ou seja, o máximo divisor comum (MDC) dos números 5400, 4320 e 7200. Fazendo a fatoração desses números: - 5400 = \( 2^2 \times 3^3 \times 5^2 \) - 4320 = \( 2^4 \times 3^3 \times 5^1 \) - 7200 = \( 2^4 \times 3^2 \times 5^2 \) O MDC corresponde a pegar o menor expoente de cada fator: - Para \( 2 \): o menor é \( 2^2 \) - Para \( 3 \): o menor é \( 3^2 \) - Para \( 5 \): o menor é \( 5^1 \) Portanto, o MDC é \( 2^2 \times 3^2 \times 5^1 = 4 \times 9 \times 5 = 180 \). Assim, a maior quantidade de componentes que pode haver em cada caixa, sem sobras, é 180. Agora vamos a algumas informações adicionais para enriquecer o conhecimento sobre o tema! Antes de chegarmos à fórmula do MDC, podemos recorrer ao algoritmo de Euclides, uma abordagem mais intuitiva que permite encontrar o máximo divisor comum de dois números, que pode ser estendido para mais. Assim, você pode resolver o problema de forma mais prática e rápida, especialmente em casos com números grandes! E se você gostou deste desafio, que tal praticar resolvendo outros problemas envolvendo o MDC? Tente trabalhar com diferentes conjuntos de números ou mesmo com situações do cotidiano, como dividir uma pizza entre amigos, em que todos devem ficar igualmente satisfeitos! Quanto mais você praticar, melhor entenderá os conceitos!