144 Limite d'une suite Déterminer les limites des suites suivantes. a) \( \left(u_{n}\right) \) définie par \( u_{n}=\left(2 n+n^{2}\right) \times \sqrt{n} \). b) \( \left(v_{n}\right) \) définie par \( v_{n}=\frac{3 n^{2}+5}{2 n^{2}-4} \). c) \( \left(w_{n}\right) \) définie par \( w_{n}=n^{2}+(-1)^{n} \). d) \( \left(a_{n}\right) \) définie par \( a_{n}=3+\frac{\cos (3 n+1)}{n^{3}} \). e) \( \left(b_{n}\right) \), qui est la suite géométrique de raison \( \frac{1}{4} \) et de premier terme \( b_{0}=10 \) f) \( \left(c_{n}\right) \) définie par \( c_{n}=-4 \times 2^{n} \)

\[ f(x)=\frac{x^{2}+3}{x-1} \] a. El dominio de \( f \). b. El dominio de continuidad de \( f \). c. \( f^{\prime}(x) y f^{\prime \prime}(x) \) d. Los puntos críticos de f. e. Los extremos relativos de f. f. Los puntos de inflexión de \( f \). g. Los intervalos en que \( f \) es creciente \( y \) h. Los intervalos en que \( f \) es cóncava hacia i. Los cortes con los ejes. j. Las asíntotas verticales, horizontales \( u \) k. Con la información recompilada, dibuje la k. Gráfica de f.

Aufgabe 2 (3 Punkte). (a) Zeigen Sie mit 7.21 und 7.28 , dass für alle \( q \in \mathbb{C} \) mit \( |q|<1 \) gilt \[ \sum_{n=0}^{\infty}(n+1) q^{n}=\frac{1}{(1-q)^{2}} \] (b) Für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) sei \( a_{n}=b_{n}=(-1)^{n} / \sqrt{n+1} \). Zeigen Sie, dass das Cauchyprodukt \( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} \) der konvergenten Reihen \( \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \) und \( \sum_{n=0}^{\infty} b_{n} \) divergiert (Hinweis: Zeigen Sie, dass \( \left(c_{n}\right) \) keine Nullfolge ist und benutzen Sie dann 7.11\( ) \).

Use polynomial long division to evaluate the integral of \( \frac{x^4 + 6x^3 + 4x^2 + 8}{x^2 + 2} \) for integration.

\( \int _{}^{}\frac{e^{x^{2}}}{x^{2}} d x \)

\( \int _{}^{}\frac{1}{e^{x^{2}}}e^{\int _{}^{}2 d x} d x \)