Show that \( \frac{\sin \theta}{\operatorname{cosec} \theta-\cot \theta}=1+\cos \theta \)

a) \( \cos ^{2} x-3 \operatorname{sen}^{2} x=0 \) b) \( \cos 2 x=1+4 \operatorname{sen} x \)

Aufgabe 4 (4 Punkte, zum präzisen Aufschrieb). Zeigen Sie, dass für alle \( x, y \in \mathbb{R} \) gilt: (a) \( \cos (2 x)=2 \cos ^{2} x-1 \) und \( \sin (2 x)=2 \sin x \cos x \). (b) \( \cos x-\cos y=2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{y-x}{2}\right) \) und \( \sin x-\sin y=2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) \).

\( \frac{1}{1-\sin (\alpha )}+\frac{1}{1+\sin (\alpha )}-2\tan (^{2}\alpha )^{} \)

a) Решите неравенство: \( \sin y<-\frac{1}{\sqrt{2}} \). b) Используя результаты предыдущего действия решите: \( \sin \left(3 x+\frac{\pi}{6}\right)<-\frac{\sqrt{2}}{2} \). c) Найдите решение неравенства: \( \frac{1}{2} \cos 3 x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 3 x<-\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Show that \( \frac{\sin \theta}{\operatorname{cosec} \theta-\cot \theta}=1+\cos \theta \)