Find \( y^{\prime \prime} \) for each of the following functions: 1) \( x=\csc t, y=\cos (2 t) \)

Hausaufgabe 36: (Komplexe Exponential- und Logarithmusfunktion) \( \quad(2+4=6 \) Punkte) a) Es seien \( z_{1}=\ln (2)+i \frac{\pi}{2} \) und \( z_{2}=-3+i \frac{\pi}{6} \) gegeben. Bringen Sie die beiden komplexen Zahlen \( w_{\ell}=e^{z_{\ell}} \) mit \( \ell \in\{1,2\} \) in die Standardform \( w_{\ell}=x_{\ell}+i y_{\ell} \), indem Sie jeweils den Real- und Imaginärteil von \( w_{\ell} \) bestimmen. b) Drücken Sie die komplexen Zahlen \( z_{3}=\ln (i e) \) und \( z_{4}=\ln (\sqrt{3}+i) \) sowohl in der Stan- dardform als auch in der Polarform aus. Es genügt dabei, den Hauptwert anzugeben. Hinweise: Der Wert von \( \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \) ist Ihnen aus \( (2.7) \) der Vorlesung bekannt. Weiterhin gilt \( \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \) und daher \( \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6} \).

9.17 Determinare \( a \) e \( b \) in modo che la funzione \( f(x) \) definita in \( \mathbb{R} \) da \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\operatorname{sen} x & \text { se } x \leq-\frac{\pi}{2} \\ a \text { sen } x+b & \text { se }-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \\ \cos x & \text { se } x \geq \frac{\pi}{2}\end{array}\right. \] sia continua in \( \mathbb{R} \). \( \left[\right. \) Essendo \( f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \), deve risultare \( b-a=-1 \) e \( a+b=0 \). Da cui \( a=\frac{1}{2} \) e \( \left.b=-\frac{1}{0}\right] \)

Fasendo \( f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \), deve risultare \( b-a=-1 \) e \( a+b=0 \). Da cuii \( a=\frac{1}{2} \) \( \left.b=-\frac{1}{2}\right] \) \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{[\log (1+x)] / x} & \text { se } x \in(-1,0) \\ \left(e^{x}-1\right) / x \quad \text { se } \quad x \in(0,1)\end{array}\right. \] è continua in \( (-1,1)-\{0\} \), ammette prolungamento continuo in \( (-1,1) \), ma la funzione \( f(x) \) definita da non su \( [-1,1] \)

9.12 Sia \( f(x) \) la funzione definita in \( \mathbb{R} \) da \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \operatorname{sen}(1 / x) & \text { se } x \neq 0 \\ 1 & \text { se } x=0 .\end{array}\right. \] Che tipo di discontinuità ammette tale funzione? [Una discontinuità eliminabile in \( x_{0}=0 \) ]

Evaluate \( \int_{1}^{2}\left(3 x^{2}-2 x+1\right) \mathrm{d} x \)