The function \( y(t) \) is given by \( y=\mathrm{e}^{t} \) (a) Calculate values of \( t \) such that \( y \) is (i) 1 , (ii) 2 , (iii) 4 , (iv) 8 . (b) Show that if \( t \) is increased by \( \ln 2 \) then the value of \( y \) doubles. (c) A function \( z(t) \) is given by

YEAR-11 TOPIC: DIFFERENTIATION A curve has equation \( y=x^{3}-3 x+4 \). (a) Work out the coordinates of the two stationary points.

A tank contains water with a volume changing based on rain falling into it and water leaking out. If the rate of inflow is given by \( R(t) = 5 + 2\sin(t) \) liters per hour and the leak occurs at a constant rate of 3 liters per hour, formulate a differential equation for the volume of water in the tank over time.

Hausaufgabe 36: (Komplexe Exponential- und Logarithmusfunktion) \( \quad(2+4=6 \) Punkte) a) Es seien \( z_{1}=\ln (2)+i \frac{\pi}{2} \) und \( z_{2}=-3+i \frac{\pi}{6} \) gegeben. Bringen Sie die beiden komplexen Zahlen \( w_{\ell}=e^{z_{\ell}} \) mit \( \ell \in\{1,2\} \) in die Standardform \( w_{\ell}=x_{\ell}+i y_{\ell} \), indem Sie jeweils den Real- und Imaginärteil von \( w_{\ell} \) bestimmen. b) Drücken Sie die komplexen Zahlen \( z_{3}=\ln (i e) \) und \( z_{4}=\ln (\sqrt{3}+i) \) sowohl in der Stan- dardform als auch in der Polarform aus. Es genügt dabei, den Hauptwert anzugeben. Hinweise: Der Wert von \( \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \) ist Ihnen aus \( (2.7) \) der Vorlesung bekannt. Weiterhin gilt \( \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \) und daher \( \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6} \).

a) \( \int 1\left(4-9 x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} d x= \)

дите точку максимума функции \( y=2 \ln (x+4)^{3}-8 x-19 \).