Q Find value of \( k \). \( f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2 x+5}-\sqrt{x+7}}{x-2} & x \neq 2 \\ k & x=2 \\ \text { if }(x) \text { is continuous at } x=2 .\end{array}\right. \)

Use polynomial long division to evaluate the integral of \( \frac{x^4 + 6x^3 + 4x^2 + 8}{x^2 + 2} \) for integration.

\( \int _{}^{}\frac{1}{e^{x^{2}}}e^{\int _{}^{}2 d x} d x \)

\( \int _{}^{}\frac{1}{e^{x^{2}}}e^{\int _{}^{}2 d x} d x \)

Aufgabe 2 (3 Punkte). (a) Zeigen Sie mit 7.21 und 7.28 , dass für alle \( q \in \mathbb{C} \) mit \( |q|<1 \) gilt \[ \sum_{n=0}^{\infty}(n+1) q^{n}=\frac{1}{(1-q)^{2}} \] (b) Für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) sei \( a_{n}=b_{n}=(-1)^{n} / \sqrt{n+1} \). Zeigen Sie, dass das Cauchyprodukt \( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} \) der konvergenten Reihen \( \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \) und \( \sum_{n=0}^{\infty} b_{n} \) divergiert (Hinweis: Zeigen Sie, dass \( \left(c_{n}\right) \) keine Nullfolge ist und benutzen Sie dann 7.11\( ) \).

Calculate the Riemann sum for the function \( f(x) = x^2 \) on the interval [1, 3] using 4 subintervals with left endpoints.