1. Determina los intervalos sobre los cuales la grifica es creciente o decreciente, los máximos y minimos, cóncava hacia arriba a hacia abajo \( y \) los puntos de inflexión. a. \( f(x)-x^{3}-6 x^{2}+12 x \) b. \( f(x)-2 x^{3}-3 x^{2}-12 x+5 \) c. \( f(x)=2 x^{4}-8 x+3 \) d. \( f(x)-x^{3}(x-4) \) e. \( f(x)-x(x-4)^{3} \)

(f) Find the constants \( a, b, c \), so that \[ \vec{F}=(x+2 y+a z) \vec{i}+(b x-3 y-z) \vec{j}+(4 x+c y+2 z) \vec{k} \] is irrotational and hence find function \( \phi \) such that \( \vec{F}=\nabla \phi \). (g) Show that the vector field \( \vec{F}=\left(e^{x} \cos y+y z\right) \vec{i}+\left(x z-e^{x} \sin y\right) \vec{j}+(x y+z) \vec{k} \) is conservative by (3 marks) finding a potential for it.

Calcular la derivada de las a) \( F_{(x)}=\left(x^{5} \cdot \operatorname{sen} x\right) \)

Encuentre \( y^{\prime} \) si \( y^{5}+3 y^{2}-2 x^{4}=-4 \)

(a) Find the volume of the parallelopiped whose coterminus edges are given by the vectors \( \vec{A}=2 \vec{i}- \) \( 3 \vec{j}+4 \vec{k}, \vec{B}=\vec{i}+2 \vec{j}-\vec{k} \) and \( \vec{C}=3 \vec{i}-\vec{j}+2 \vec{k} \). (b) i. If \( \vec{F} \) is a conservative field, prove that curl \( \vec{F}=\nabla \times \vec{F}=\overrightarrow{0} \) (i.e., \( \vec{F} \) is irrotational). (2 marks) ii. Conversely, if \( \nabla \times \vec{F}=\overrightarrow{0} \) (i.e., \( \vec{F} \) is irrotational), prove that \( \vec{F} \) is conservative. (c) If \( \phi=2 x y z^{2}, \quad \vec{F}=x y \vec{i}-z \vec{j}+x^{2} \vec{k} \) and C is the curve \( x=t^{2} . \quad y=2 t . \quad z=t^{3} \) from \( t=0 \)

\( f_{x}=\frac{2}{3} x^{2}-x \) en el punto de abscisa \( x=a \) ParA \( a=0 \).