\begin{tabular}{l} Exercice 2: \ Soit $$ f $$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $$ I=[0 ; 1] $$ par : $$ f(x)=4 x \sqrt{x}-3 x^{2} $$ \ 1- Montrer que $$ f $$ est croissante sur $$ I $$ \ 2- On considère la suite $$ \left(u_{n} ight) $$ définie par : $$ u_{0}=\frac{4}{9} $$ et $$ (\forall n \in \mathbb{N}) u_{n+1}=4 u_{n} \sqrt{u_{n}}-3 u_{n}^{2} $$ \ a- Montrer que $$ (\forall n \in \mathbb{N}) \frac{4}{9} \leq u_{n} \leq 1 $$ \ b- Montrer que $$ \left(u_{n} ight) $$ est croissante. \ c- En déduire que $$ \left(u_{n} ight) $$ est convergente et calculer $$ \lim _{n ightarrow+\infty} u_{n} $$ \ \hline Exercice 3: \end{tabular}

Question

\begin{tabular}{l} Exercice 2: \ Soit $$ f $$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $$ I=[0 ; 1] $$ par : $$ f(x)=4 x \sqrt{x}-3 x^{2} $$ \ 1- Montrer que $$ f $$ est croissante sur $$ I $$ \ 2- On considère la suite $$ \left(u_{n}ight) $$ définie par : $$ u_{0}=\frac{4}{9} $$ et $$ (\forall n \in \mathbb{N}) u_{n+1}=4 u_{n} \sqrt{u_{n}}-3 u_{n}^{2} $$ \ a- Montrer que $$ (\forall n \in \mathbb{N}) \frac{4}{9} \leq u_{n} \leq 1 $$ \ b- Montrer que $$ \left(u_{n}ight) $$ est croissante. \ c- En déduire que $$ \left(u_{n}ight) $$ est convergente et calculer $$ \lim _{n ightarrow+\infty} u_{n} $$ \ \hline Exercice 3: \end{tabular}

Ellis Lane · Accepted Answer

1- $$ f(x) $$ is increasing on $$ [0, 1] $$. 2- $$ \frac{4}{9} \leq u_n \leq 1 $$ for all $$ n \in \mathbb{N} $$, and $$ u_n $$ is increasing.

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