Questlon 7 of 10 How do the planets farther from the Sun differ from the planets that are closer to the Sun? A. They are spherical in shape. B. They have moons. C. They orbit the Sun. D. They are colder.

Hausaufgabe 33: (Eigenwertproblem und Exponentialmatrix) \( \quad(3+1+2=6 \) Punkte) Zur Behandlung des Spins in der Quantenmechanik benötigt man die sogenannte Pauli-Matrix \[ \sigma=\left(\begin{array}{rr}0 & -i \\ i & 0\end{array}\right) \] a) Bestimmen Sie ihre Eigenwerte \( \lambda_{1} \) und \( \lambda_{2} \) sowie die zugehörigen Eigenvektoren \( \vec{v}_{1} \) und \( \vec{v}_{2} \). b) Verifizieren Sie für die von Ihnen gefundenen Eigenwerte und Eigenvektoren jeweils die Gleichung \( \sigma \vec{v}_{i}=\lambda_{i} \vec{v}_{i} \). c) Berechnen Sie die Exponentialmatrix \( e^{i \varphi \sigma} \) für \( \varphi \in \mathbb{R} \).

* (2 Points) \( \quad \) Let \( A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 3 \\ 2 & -3 & 6 \\ -1 & 4 & -2\end{array}\right] \) find \( A \) adj \( A \) \( 2 I \) \( -2 I \) \( I \) \( -I \)

Questlon 24 of 25 What is usually organized in a chart during an experiment? A. Data B. Explanation C. Hypothesis D. Claims

Diagonalise: a) \( A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] \) colculate \( A^{3} \), using \( A^{n}=P D^{n} P^{-1} \)

Hausaufgabe 36: (Komplexe Exponential- und Logarithmusfunktion) (2+4 \( =6 \) Punkte) a) Es seien \( z_{1}=\ln (2)+i \frac{\pi}{2} \) und \( z_{2}=-3+i \frac{\pi}{6} \) gegeben. Bringen Sie die beiden komplexen Zahlen \( w_{\ell}=e^{z_{\ell}} \) mit \( \ell \in\{1,2\} \) in die Standardform \( w_{\ell}=x_{\ell}+i y_{\ell} \), indem Sie jeweils den Real- und Imaginärteil von \( w_{\ell} \) bestimmen. b) Drücken Sie die komplexen Zahlen \( z_{3}=\ln (i e) \) und \( z_{4}=\ln (\sqrt{3}+i) \) sowohl in der Stan- dardform als auch in der Polarform aus. Es genügt dabei, den Hauptwert anzugeben. Hinweise: Der Wert von \( \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \) ist Ihnen aus (2.7) der Vorlesung bekannt. Weiterhin gilt \( \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \) und daher \( \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6} \)