2. Determine whether each curve has a linear oblique asymptote. If it does, state its equation \( \begin{array}{ll}\text { a) } f(x)=2 x^{2}+3+\frac{1}{x} & \text { b) } y=3-x-\frac{1}{x}\end{array} \)

Per determinare se ciascuna curva ha un asintoto obliquo, dobbiamo analizzare il comportamento delle funzioni quando \( x \) tende a \( +\infty \) e \( -\infty \). Un asintoto obliquo esiste se il limite della funzione, meno una retta, tende a zero. ### a) \( f(x) = 2x^2 + 3 + \frac{1}{x} \) 1. **Calcolo del limite per \( x \to +\infty \)**: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( 2x^2 + 3 + \frac{1}{x} \right) = +\infty \] Poiché il termine dominante è \( 2x^2 \), la funzione tende a \( +\infty \). 2. **Calcolo del limite per \( x \to -\infty \)**: \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left( 2x^2 + 3 + \frac{1}{x} \right) = +\infty \] Anche in questo caso, la funzione tende a \( +\infty \). **Conclusione**: Non esiste un asintoto obliquo per \( f(x) \) poiché la funzione tende a \( +\infty \) in entrambe le direzioni. ### b) \( y = 3 - x - \frac{1}{x} \) 1. **Calcolo del limite per \( x \to +\infty \)**: \[ \lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \left( 3 - x - \frac{1}{x} \right) = -\infty \] Qui, il termine \( -x \) domina e la funzione tende a \( -\infty \). 2. **Calcolo del limite per \( x \to -\infty \)**: \[ \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \left( 3 - x - \frac{1}{x} \right) = +\infty \] In questo caso, il termine \( -x \) è positivo e la funzione tende a \( +\infty \). **Conclusione**: Anche se la funzione tende a \( +\infty \) e \( -\infty \), possiamo trovare un asintoto obliquo. Per trovare l'equazione dell'asintoto obliquo, consideriamo il termine principale: L'asintoto obliquo è dato da: \[ y = -x + 3 \] ### Risultato finale: - a) Non ha asintoto obliquo. - b) Ha un asintoto obliquo: \( y = -x + 3 \).