Actividad 4. Técnicas de integración. Resuelve las siguientes integrales. \( 21 \int \cos 3 x d x= \)

Para resolver la integral \( 21 \int \cos(3x) \, dx \), primero sacamos el factor constante 21 fuera de la integral. Esto nos deja con \( 21 \cdot \int \cos(3x) \, dx \). Ahora, aplicamos la regla de integración de la función coseno. La integral de \(\cos(kx)\) es \(\frac{1}{k} \sin(kx)\), donde \(k = 3\) en este caso. Por lo tanto, obtenemos: \[ 21 \cdot \frac{1}{3} \sin(3x) + C = 7 \sin(3x) + C \] donde \(C\) es la constante de integración. Así que la respuesta es \( 7 \sin(3x) + C \). Para tener una comprensión más profunda, es interesante saber que la integración de funciones trigonométricas ha sido un tema clave desde la antigüedad, con matemáticos como Arquímedes y los babilonios ya utilizándolo. Las funciones seno y coseno son fundamentales en el cálculo, ya que modelan fenómenos periódicos que se encuentran en la naturaleza, como el movimiento de las ondas. Para quienes deseen mejorar su desempeño en integración, una recomendación es practicar con diferentes funciones trigonométricas y sus múltiples ángulos. Muchas dificultades comunes provienen de no identificar correctamente la constante de integración o de intentar integrar funciones sin orden de complejidad. Practicar ejemplos variados te ayudará a resolver integrales más complejas de manera más segura y precisa.