691 Un ciclista ha percorso 180 km a velocità costante. Se la velocità fosse stata di \( 4 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) superiore, sarebbe giunto al traguardo mezz'ora prima. A quale velocità ha pedalato il ciclista?

Per risolvere il problema, iniziamo a definire le variabili e le condizioni note. 1. Sia \( v \) la velocità del ciclista in \( \mathrm{km/h} \). 2. La distanza percorsa è di \( 180 \) km. 3. Se la velocità fosse stata \( v + 4 \) km/h, il ciclista sarebbe arrivato mezz'ora prima. Possiamo utilizzare la formula del tempo, che è data da: \[ t = \frac{d}{v} \] dove \( t \) è il tempo, \( d \) è la distanza e \( v \) è la velocità. ### Passo 1: Scrivere le equazioni per i tempi Il tempo impiegato dal ciclista alla velocità \( v \) è: \[ t_1 = \frac{180}{v} \] Il tempo impiegato alla velocità \( v + 4 \) è: \[ t_2 = \frac{180}{v + 4} \] ### Passo 2: Stabilire la relazione tra i tempi Secondo il problema, il ciclista impiega mezz'ora in meno se viaggia a \( v + 4 \) km/h. Quindi possiamo scrivere l'equazione: \[ t_1 - t_2 = \frac{1}{2} \] Sostituendo le espressioni per \( t_1 \) e \( t_2 \): \[ \frac{180}{v} - \frac{180}{v + 4} = \frac{1}{2} \] ### Passo 3: Risolvere l'equazione Moltiplichiamo entrambi i membri per \( 2v(v + 4) \) per eliminare i denominatori: \[ 2 \cdot 180(v + 4) - 2 \cdot 180v = v(v + 4) \] Semplificando: \[ 360v + 1440 - 360v = v^2 + 4v \] Questo si semplifica a: \[ 1440 = v^2 + 4v \] ### Passo 4: Riordinare l'equazione Riordiniamo l'equazione: \[ v^2 + 4v - 1440 = 0 \] ### Passo 5: Risolvere l'equazione quadratica Utilizziamo la formula quadratica \( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), dove \( a = 1 \), \( b = 4 \), e \( c = -1440 \). Calcoliamo il discriminante: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1440) = 16 + 5760 = 5776 \] Ora calcoliamo \( v \): \[ v = \frac{-4 \pm \sqrt{5776}}{2 \cdot 1} \] Calcoliamo \( \sqrt{5776} \): \[ \sqrt{5776} = 76 \] Quindi: \[ v = \frac{-4 \pm 76}{2} \] ### Passo 6: Trovare le soluzioni Le due soluzioni sono: \[ v_1 = \frac{72}{2} = 36 \quad \text{(soluzione positiva)} \] \[ v_2 = \frac{-80}{2} = -40 \quad \text{(soluzione negativa, non valida)} \] ### Risultato finale La velocità del ciclista è quindi: \[ \boxed{36 \, \mathrm{km/h}} \]