Question
\( \frac { 2 x + a } { a } - 1 < \frac { x + 2 a } { 2 a } + 2 \)
Ask by Ingram Brooks. in Italy
Feb 25,2025
Upstudy AI Solution
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Answer
L'ineguaglianza \( \frac{2x + a}{a} - 1 < \frac{x + 2a}{2a} + 2 \) è vera per tutti i valori di \( x \) minori di \( 2a \).
Solution
Per risolvere l'ineguaglianza data, possiamo iniziare a semplificarla e poi trovare il range di valori per cui l'ineguaglianza è vera.
Dati:
\[ \frac{2x + a}{a} - 1 < \frac{x + 2a}{2a} + 2 \]
Semplifichiamo l'ineguaglianza:
\[ \frac{2x + a}{a} - 1 < \frac{x + 2a}{2a} + 2 \]
\[ \frac{2x + a}{a} - \frac{a}{a} < \frac{x + 2a}{2a} + \frac{4a}{2a} \]
\[ \frac{2x + a - a}{a} < \frac{x + 2a + 4a}{2a} \]
\[ \frac{2x}{a} < \frac{x + 6a}{2a} \]
\[ 4x < x + 6a \]
\[ 3x < 6a \]
\[ x < 2a \]
Quindi, l'ineguaglianza è vera per tutti i valori di \( x \) minori di \( 2a \).
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Simplify this solution Extra Insights
Let's solve the inequality step-by-step! First, we can simplify each side: Starting with the left side: \[ \frac { 2 x + a } { a } - 1 = \frac { 2 x + a - a } { a } = \frac { 2 x } { a } \] Now simplifying the right side: \[ \frac { x + 2 a } { 2 a } + 2 = \frac { x + 2 a } { 2 a } + \frac { 4 a } { 2 a } = \frac { x + 6 a } { 2 a } \] Now we can write the inequality as: \[ \frac { 2 x } { a } < \frac { x + 6 a } { 2 a } \] To eliminate the fractions, we can multiply both sides by \( 2a \) (assuming \( a > 0 \)): \[ 4x < x + 6 a \] Now, subtract \( x \) from both sides: \[ 3x < 6a \] Finally, divide by 3: \[ x < 2a \] So, the solution to the inequality is: \[ x < 2a \]
