(1) Resduver la sigulente evación exponencial \( 3^{2 x}+2\left(3^{x}\right)-15=0 \)

Para resolver la siguiente ecuación exponencial: \[ 3^{2x} + 2 \cdot 3^{x} - 15 = 0 \] seguimos estos pasos: 1. **Sustitución para simplificar la ecuación:** Sea \( y = 3^{x} \). Entonces, \( 3^{2x} = (3^{x})^{2} = y^{2} \). La ecuación original se transforma en: \[ y^{2} + 2y - 15 = 0 \] 2. **Resolución de la ecuación cuadrática:** Resolvemos la ecuación cuadrática \( y^{2} + 2y - 15 = 0 \) utilizando la fórmula general: \[ y = \frac{ -b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac} }{2a} \] Donde \( a = 1 \), \( b = 2 \) y \( c = -15 \). Calculamos el discriminante: \[ \Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \] Entonces, las soluciones son: \[ y = \frac{ -2 \pm \sqrt{64} }{2} = \frac{ -2 \pm 8 }{2} \] Esto nos da dos posibles valores para \( y \): \[ y_{1} = \frac{ -2 + 8 }{2} = 3 \] \[ y_{2} = \frac{ -2 - 8 }{2} = -5 \] 3. **Revertir la sustitución y encontrar \( x \):** Recordamos que \( y = 3^{x} \). Dado que una potencia de base positiva (\( 3^{x} \)) siempre es positiva, descartamos la solución \( y = -5 \). Consideramos únicamente \( y = 3 \): \[ 3^{x} = 3 \] Sabemos que \( 3^{1} = 3 \), por lo tanto: \[ x = 1 \] **Conclusión:** La solución de la ecuación exponencial es \( x = 1 \).