La longitud de la curva determinada por la función vectorial \( \mathbf{r}(t)=\left\langle 10 e^{t} \cos (t), 10 e^{t} \sin (t), 6 e^{t}\right\rangle \operatorname{con} t \in[0,2 \pi] \) es De ser necesario redondee su respuesta con dos cifras decimales

Para hallar la longitud de la curva dada por   r(t) = ⟨10 eᵗ cos t, 10 eᵗ sin t, 6 eᵗ⟩  con t ∈ [0, 2π], debemos calcular   L = ∫₀^(2π) ||r′(t)|| dt. 1. Primero derivamos cada componente de r(t):   • Derivada de 10 eᵗ cos t:    d/dt[10 eᵗ cos t] = 10 [eᵗ cos t – eᵗ sin t] = 10 eᵗ (cos t – sin t).   • Derivada de 10 eᵗ sin t:    d/dt[10 eᵗ sin t] = 10 [eᵗ sin t + eᵗ cos t] = 10 eᵗ (sin t + cos t).   • Derivada de 6 eᵗ:    d/dt[6 eᵗ] = 6 eᵗ. 2. La derivada del vector r(t) es   r′(t) = ⟨10 eᵗ (cos t – sin t), 10 eᵗ (sin t + cos t), 6 eᵗ⟩. 3. Calculamos la norma de r′(t):   ||r′(t)|| = √{[10 eᵗ (cos t – sin t)]² + [10 eᵗ (sin t + cos t)]² + [6 eᵗ]²}.   Factorizamos e^(2t):   ||r′(t)|| = eᵗ √{100[(cos t – sin t)² + (sin t + cos t)²] + 36}. 4. Notamos que   (cos t – sin t)² = cos²t – 2 sin t cos t + sin²t = 1 – 2 sin t cos t,   (sin t + cos t)² = sin²t + 2 sin t cos t + cos²t = 1 + 2 sin t cos t.   Entonces,   (cos t – sin t)² + (sin t + cos t)² = (1 – 2 sin t cos t) + (1 + 2 sin t cos t) = 2. 5. Por lo tanto,   ||r′(t)|| = eᵗ √(100·2 + 36) = eᵗ √(200 + 36) = eᵗ √236.   Dado que 236 = 4·59, se tiene √236 = 2√59. Así:   ||r′(t)|| = 2√59 · eᵗ. 6. La longitud de la curva es entonces   L = ∫₀^(2π) 2√59 · eᵗ dt = 2√59 · ∫₀^(2π) eᵗ dt.   Integrando eᵗ se obtiene:   ∫₀^(2π) eᵗ dt = eᵗ |₀^(2π) = e^(2π) – 1. 7. Así, la longitud es   L = 2√59 (e^(2π) – 1). Si se desea una aproximación numérica con dos cifras decimales, se procede de la siguiente forma:   √59 ≈ 7.68  ⇒ 2√59 ≈ 15.36.   e^(2π) = e^(6.28318) ≈ 535.49  ⇒ e^(2π) – 1 ≈ 534.49. Multiplicando:   L ≈ 15.36 × 534.49 ≈ 8211.15. Por lo tanto, redondeando a dos cifras decimales, la longitud de la curva es aproximadamente 8211.15.