2. Determina si cada igualdad es correcta 0 incorrecta. Justifica tus respuestas. a. \( 3^{4} \times 3^{5}=3^{20} \) b. \( 4^{3} \times 3^{4}=12^{7} \) c. \( \left(3^{4}\right)^{3}=\left(3^{6}\right)^{2} \) d. \( 3^{0} \div 0^{3}=1 \) e. \( 0^{3} \div 3^{0}=0 \) f. \( 3^{4} \div 3=27 \) g. \( \frac{2^{3} \cdot 3^{2}}{(2 \cdot 3)^{5}}=1 \) h. \( \left[\frac{x^{2} y^{-3}}{\left(x^{-3} y^{-2}\right)^{0}}\right]^{-1}=\frac{y^{3}}{x^{2}} \)

Vamos a analizar cada igualdad y justificar la respuesta: a) 3⁴ × 3⁵ = 3²⁰   Aplicando la propiedad de los exponentes: cuando se multiplican dos potencias de la misma base se suman los exponentes, es decir, 3⁴ × 3⁵ = 3^(4+5) = 3⁹, y 3⁹ ≠ 3²⁰.   Respuesta: Incorrecta. b) 4³ × 3⁴ = 12⁷   Observa que 12⁷ = (4×3)⁷ = 4⁷ × 3⁷. Por otro lado, 4³ × 3⁴ tiene exponentes 3 y 4, respectivamente, que son menores que 7. Así, las bases y los exponentes no coinciden.   Respuesta: Incorrecta. c) (3⁴)³ = (3⁶)²   Aplicamos la propiedad (aᵇ)ᶜ = a^(b·c).   Izquierda: (3⁴)³ = 3^(4×3) = 3¹².   Derecha: (3⁶)² = 3^(6×2) = 3¹².   Ambos lados son iguales.   Respuesta: Correcta. d) 3⁰ ÷ 0³ = 1   3⁰ = 1, pero 0³ = 0. Entonces, se estaría dividiendo 1 entre 0, lo cual es una operación indefinida (división por cero).   Respuesta: Incorrecta. e) 0³ ÷ 3⁰ = 0   0³ = 0 y 3⁰ = 1, luego la división es 0 ÷ 1 = 0.   Respuesta: Correcta. f) 3⁴ ÷ 3 = 27   3⁴ = 81; dividiendo 81 entre 3 se obtiene 27.   Además, usando la propiedad de exponentes: 3⁴ ÷ 3 = 3⁴ ÷ 3¹ = 3^(4−1) = 3³ = 27.   Respuesta: Correcta. g) (2³ · 3²) ÷ (2 · 3)⁵ = 1   Evaluemos el denominador: (2·3)⁵ = 2⁵ · 3⁵.   Entonces, la expresión es: (2³ · 3²) ÷ (2⁵ · 3⁵) = 2^(3−5) · 3^(2−5) = 2^(–2) · 3^(–3) = 1/(2² · 3³) = 1/(4 · 27) = 1/108, que claramente no es 1.   Respuesta: Incorrecta. h) [ (x² · y^(–3)) ÷ ( (x^(–3) · y^(–2))⁰ ) ]^(–1) = y³/x²   Recordemos que cualquier expresión (no nula) elevada a la 0 es 1, por lo tanto, (x^(–3) · y^(–2))⁰ = 1.   Entonces la igualdad se reduce a: (x² · y^(–3))^(–1).   Aplicamos la propiedad (a^m)^(–1) = a^(–m): (x²)^(–1) = x^(–2) y (y^(–3))^(–1) = y³. Así obtenemos: x^(–2) · y³ = y³/x².   Respuesta: Correcta. En resumen: a) Incorrecta b) Incorrecta c) Correcta d) Incorrecta e) Correcta f) Correcta g) Incorrecta h) Correcta.