29-32 - Grafique la función definida por tramos y use su calculadora graficadora para hallar los valores de los límites, si existen. 29. \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} & \text { si } x \leq 2 \\ 6-x & \text { si } x>2\end{array}\right. \) (a) \( \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x) \) (b) \( \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x) \) (c) \( \lim _{x \rightarrow 2} f(x) \) 30. \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 & \text { si } x<0 \\ x+1 & \text { si } x \geq 0\end{array}\right. \) (a) \( \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x) \) (b) \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) \) (c) \( \lim _{x \rightarrow 0} f(x) \) 31. \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x+3 & \text { si } x<-1 \\ 3 & \text { si } x \geq-1\end{array}\right. \) (a) \( \lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x) \) (b) \( \lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x) \) (c) \( \lim _{x \rightarrow-1} f(x) \) 32. \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+10 & \text { si } x \leq-2 \\ -x+4 & \text { si } x>-2\end{array}\right. \) (a) \( \lim _{x \rightarrow-2^{-}} f(x) \) (b) \( \lim _{x \rightarrow-2^{+}} f(x) \) (c) \( \lim _{x \rightarrow-2} f(x) \)

A continuación se grafica y se analizan los límites de cada función definida por tramos. ───────────────────────────── 29. Sea   f(x) = { x²    si x ≤ 2         6 – x si x > 2 } 1. Para x ≤ 2, la función es f(x) = x². Al acercarse a 2 por la izquierda se calcula:   lim₍ₓ→2⁻₎ f(x) = 2² = 4. 2. Para x > 2, f(x) = 6 – x. Al acercarse a 2 por la derecha se obtiene:   lim₍ₓ→2⁺₎ f(x) = 6 – 2 = 4. 3. Como ambos límites laterales coinciden, se concluye:   lim₍ₓ→2₎ f(x) = 4. ───────────────────────────── 30. Sea   f(x) = { 2    si x < 0        x + 1 si x ≥ 0 } 1. Para x < 0, f(x) es constante:   lim₍ₓ→0⁻₎ f(x) = 2. 2. Para x ≥ 0, f(x) = x + 1. Al acercarse a 0 por la derecha:   lim₍ₓ→0⁺₎ f(x) = 0 + 1 = 1. 3. Dado que el límite por la izquierda (2) y por la derecha (1) no son iguales,   lim₍ₓ→0₎ f(x) no existe. ───────────────────────────── 31. Sea   f(x) = { –x + 3   si x < –1         3     si x ≥ –1 } (Nótese que en el inciso (b) se debe calcular el límite por la derecha; se supone un error tipográfico en la redacción original). 1. Para x < –1, f(x) = –x + 3. Al acercarse a –1 por la izquierda:   lim₍ₓ→–1⁻₎ f(x) = –(–1) + 3 = 1 + 3 = 4. 2. Para x ≥ –1, f(x) es constante (3). Al acercarse a –1 por la derecha:   lim₍ₓ→–1⁺₎ f(x) = 3. 3. Dado que los límites laterales son diferentes,   lim₍ₓ→–1₎ f(x) no existe. ───────────────────────────── 32. Sea   f(x) = { 2x + 10  si x ≤ –2          –x + 4  si x > –2 } 1. Para x ≤ –2, f(x) = 2x + 10. Al acercarse a –2 por la izquierda:   lim₍ₓ→–2⁻₎ f(x) = 2(–2) + 10 = –4 + 10 = 6. 2. Para x > –2, f(x) = –x + 4. Al acercarse a –2 por la derecha:   lim₍ₓ→–2⁺₎ f(x) = –(–2) + 4 = 2 + 4 = 6. 3. Como ambos límites laterales coinciden,   lim₍ₓ→–2₎ f(x) = 6. ───────────────────────────── Resumen de respuestas: 29.  (a) lim₍ₓ→2⁻₎ f(x) = 4  (b) lim₍ₓ→2⁺₎ f(x) = 4  (c) lim₍ₓ→2₎ f(x) = 4 30.  (a) lim₍ₓ→0⁻₎ f(x) = 2  (b) lim₍ₓ→0⁺₎ f(x) = 1  (c) lim₍ₓ→0₎ f(x) no existe 31.  (a) lim₍ₓ→–1⁻₎ f(x) = 4  (b) lim₍ₓ→–1⁺₎ f(x) = 3  (c) lim₍ₓ→–1₎ f(x) no existe 32.  (a) lim₍ₓ→–2⁻₎ f(x) = 6  (b) lim₍ₓ→–2⁺₎ f(x) = 6  (c) lim₍ₓ→–2₎ f(x) = 6 Cada función se puede graficar usando una calculadora gráfica (por ejemplo, Desmos o GeoGebra) para corroborar visualmente los límites. Las discontinuidades o coincidencias en los valores cerca de los puntos de cambio se observan claramente en las gráficas.