Bge Una grondaia viene costruita a partire da lastre di alluminio aventi la larghezza di 20 cm . I bordi vengono ripiegati in modo da formare con la lastra degli angoli retti, come mostrato in figura. Determina l'altezza della gronda- ia, in modo che la sua sezione rettangolare abbia un'area di \( 40 \mathrm{~cm}^{2} \). Arroton- da le soluzioni ai decimi. \( [2,8 \mathrm{~cm} \vee 7,2 \mathrm{~cm}] \)

Per risolvere il problema, iniziamo a definire la variabile \( h \) come l'altezza della grondaia. Da notare che, ripiegando i bordi della lastra di alluminio, la base della sezione rettangolare diventa \( 20 - 2h \) (dato che ripieghiamo i due bordi). L'area della sezione rettangolare può così essere espressa come: \[ A = base \times altezza = (20 - 2h) \times h \] Sappiamo che l'area deve essere pari a 40 cm², per cui, eguagliando, otteniamo: \[ (20 - 2h) \times h = 40 \] Semplificando l'equazione, otteniamo: \[ 20h - 2h^2 = 40 \] Portando tutto a sinistra, otteniamo l'equazione quadratica: \[ 2h^2 - 20h + 40 = 0 \] Dividendo per 2, abbiamo: \[ h^2 - 10h + 20 = 0 \] Possiamo applicare la formula risolutiva: \[ h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 80}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{20}}{2} \] Semplificandolo ulteriormente: \[ h = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 5 \pm \sqrt{5} \] Calcolando le due soluzioni, otteniamo: \[ h_1 \approx 7,236 \text{ cm} \quad \text{e} \quad h_2 \approx 2,764 \text{ cm} \] Arrotondando, otteniamo le altezze della grondaia \( h_1 \approx 7,2 \text{ cm} \) e \( h_2 \approx 2,8 \text{ cm} \).