Dada la función \( f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-4 x^{2}+12 x \) Hallar las coordenadas de los extremos relativos.

Para hallar las coordenadas de los extremos relativos de la función \( f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-4 x^{2}+12 x \), comenzamos encontrando la derivada de \( f(x) \): \[ f'(x) = x^{2} - 8x + 12. \] Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: \[ x^{2} - 8x + 12 = 0. \] Factorizamos la ecuación: \[ (x - 6)(x - 2) = 0. \] De aquí, tenemos \( x = 6 \) y \( x = 2 \) como puntos críticos. Ahora evaluamos \( f(x) \) en estos puntos para encontrar las coordenadas de los extremos relativos. Calculamos \( f(6) \): \[ f(6) = \frac{1}{3}(6^{3}) - 4(6^{2}) + 12(6) = \frac{1}{3}(216) - 4(36) + 72 = 72 - 144 + 72 = 0. \] Y para \( f(2) \): \[ f(2) = \frac{1}{3}(2^{3}) - 4(2^{2}) + 12(2) = \frac{1}{3}(8) - 4(4) + 24 = \frac{8}{3} - 16 + 24 = \frac{8}{3} + 8 = \frac{32}{3}. \] Por lo tanto, las coordenadas de los extremos relativos son: 1. \( (6, 0) \) que es un extremo relativo, y 2. \( (2, \frac{32}{3}) \) que es otro extremo relativo.