\( \left\{\begin{array}{l}y=2 x^{2}-3 x \\ y=4 x-2\end{array} \quad\right. \) GRAFICO

A continuación se explica cómo graficar el sistema de ecuaciones   y = 2x² – 3x   y = 4x – 2 ────────────────────────────── 1. CÁLCULO DE LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN Para encontrar los puntos donde las dos curvas se cruzan, igualamos las expresiones de y:   2x² – 3x = 4x – 2 Pasos:  a) Reorganizamos la ecuación:   2x² – 3x – 4x + 2 = 0 ⟹ 2x² – 7x + 2 = 0  b) Resolvemos la ecuación cuadrática:   La fórmula general es:    x = [7 ± √(7² – 4·2·2)]/(2·2)   Calculamos el discriminante:    ∆ = 49 – 16 = 33   Por tanto:    x₁ = (7 + √33) / 4    y  x₂ = (7 – √33) / 4  c) Para hallar las correspondientes coordenadas en y usamos la ecuación lineal (la más sencilla):   y = 4x – 2  Entonces,   y₁ = 4·[(7 + √33)/4] – 2 = (7 + √33) – 2 = 5 + √33   y₂ = 4·[(7 – √33)/4] – 2 = (7 – √33) – 2 = 5 – √33 Resumen de los puntos de intersección:   P₁ = ( (7 + √33)/4, 5 + √33 )   P₂ = ( (7 – √33)/4, 5 – √33 ) ────────────────────────────── 2. CARACTERÍSTICAS DE CADA GRÁFICA A) Gráfica de y = 2x² – 3x  • Tipo de curva: Parábola que se abre hacia arriba (a = 2 > 0).  • Intersecciones con el eje x:   • Factorizando: y = x(2x – 3) = 0    – x = 0    – 2x – 3 = 0 ⟹ x = 3/2 = 1.5  • Intersección con el eje y:   x = 0 ⟹ y = 0  • Vértice de la parábola:   La coordenada x del vértice se obtiene con: x_v = –b/(2a)    Aquí, b = –3, a = 2 ⟹ x_v = 3/(2·2) = 0.75   Para y_v:    y_v = 2·(0.75)² – 3·(0.75) = 2·0.5625 – 2.25 = 1.125 – 2.25 = –1.125   • Así, el vértice es: (0.75, –1.125). B) Gráfica de y = 4x – 2  • Tipo de curva: Recta.  • Pendiente: m = 4 (la recta es creciente).  • Intersección con el eje y:   x = 0 ⟹ y = –2  • Intersección con el eje x:   y = 0 ⟹ 4x – 2 = 0 ⟹ x = 0.5 ────────────────────────────── 3. REPRESENTACIÓN DEL GRÁFICO Para graficar el sistema: • Dibuja un sistema de ejes (x e y) marcando bien los valores y escalas. • Traza la parábola y = 2x² – 3x:   – Pasa por (0, 0) y (1.5, 0).   – Tiene su vértice en (0.75, –1.125). • Traza la recta y = 4x – 2:   – Pasa por (0, –2) y por (0.5, 0). • Marca los puntos de intersección:   – P₁ = ( (7 + √33)/4, 5 + √33 ) aproximadamente.    √33 ≈ 5.7446, luego:    x₁ ≈ (7 + 5.7446)/4 = 12.7446/4 ≈ 3.186, y₁ ≈ 5 + 5.7446 = 10.7446   – P₂ = ( (7 – √33)/4, 5 – √33 ) aproximadamente:    x₂ ≈ (7 – 5.7446)/4 = 1.2554/4 ≈ 0.314,  y₂ ≈ 5 – 5.7446 = –0.7446 De forma esquemática, el gráfico mostraría:   • La parábola abriendo hacia arriba, con su parte baja cerca de (0.75, –1.125) y cruzando al eje x en (0, 0) y (1.5, 0).   • La recta, bastante inclinada, comenzando en el eje y por (0, –2) y subiendo rápidamente, cruzando el eje x en (0.5, 0) y luego intersecándose con la parábola en los puntos calculados. ────────────────────────────── 4. CONCLUSIÓN El sistema de ecuaciones tiene dos puntos de intersección:   ( (7 + √33)/4, 5 + √33 ) y ( (7 – √33)/4, 5 – √33 ). La gráfica consiste en la parábola y = 2x² – 3x y la recta y = 4x – 2. Siguiendo los pasos anteriores, se puede dibujar cada curva y marcar sus intersecciones para visualizar la solución del sistema. ¡Con esta información ya puedes realizar el gráfico del sistema!