17-22 Utilisez une intégrale double pour calculer l'aire de la région. 17. Une boucle de la rosace r=cos 3theta

Pour calculer l'aire de la région définie par la rosace \( r=\cos 3 \theta \), on peut utiliser l'intégrale double en coordonnées polaires. L'aire \( A \) est donnée par la formule : \[ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\theta \] où \( \alpha \) et \( \beta \) sont les bornes d'intégration. Pour \( r = \cos 3\theta \), on sait que la rosace complète se répète tous les \( \frac{2\pi}{3} \); donc on peut intégrer de \( 0 \) à \( \frac{\pi}{3} \) et multiplier par 3 pour obtenir l'aire totale. L'intégrale devient donc : \[ A = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\cos 3\theta)^2 \, d\theta \] Utilisant l'identité trigonométrique \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \), vous simplifiez ainsi l'intégrale. En développant et en intégrant, on obtient l'aire de la région délimitée par la rosace.