11) \( \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \) Si hay Raiz no aplica \[ \left.\begin{array}{l} u=1-x^{2} \\ d u=-2 x d x \\ d x=\frac{d u}{-2 x} \\ a^{2}=1 \\ a=1 \end{array}\right\}-\frac{1}{2} \int \frac{x^{x}}{\sqrt{u}} \frac{d u}{-2 x} d u \]

Aplicaremos una sustitución trigonométrica para eliminar la raíz, ya que se nos pide no “aplicar raíz” en la integración directa, y esta técnica simplifica el proceso. Consideremos la integral   I = ∫ [x²/√(1 – x²)] dx. Paso 1. Realizamos la sustitución   x = sin θ    (con −π/2 ≤ θ ≤ π/2),   dx = cos θ dθ   (y además, √(1 – x²) = √(1 – sin²θ) = cos θ, ya que cosθ ≥ 0 en el intervalo seleccionado). Paso 2. Sustituimos en la integral:   I = ∫ [sin²θ / cosθ] · (cosθ dθ)     = ∫ sin²θ dθ. Paso 3. Usamos la identidad para sin²θ:   sin²θ = (1 – cos 2θ)/2. Entonces,   I = ∫ (1 – cos 2θ)/2 dθ = ½ ∫ (1 – cos 2θ) dθ. Integramos término a término:   ∫1 dθ = θ   y  ∫cos 2θ dθ = (sin 2θ)/2. Por lo tanto,   I = ½ [θ – (sin 2θ)/2] + C = (θ)/2 – (sin 2θ)/4 + C. Paso 4. Regresamos a la variable x. Recordando que x = sinθ, se tiene:   θ = arcsin x. Además, utilizando la identidad:   sin 2θ = 2 sinθ cosθ, y notando que cosθ = √(1 – sin²θ) = √(1 – x²), se deduce:   sin 2θ = 2x √(1 – x²). Por lo que sustituimos en la antiderivada:   I = (arcsin x)/2 – [2x√(1 – x²)]/4 + C = (arcsin x)/2 – (x√(1 – x²))/2 + C. Conclusión: La integral resulta   ∫ [x²/√(1 – x²)] dx = (1/2)·arcsin(x) – (x/2)·√(1 – x²) + C.