9. La media di due numeri razionali è \( \frac{16}{15} \), mentre la loro differenza è \( \frac{8}{15} \). Determina i due numeri. 10. In un rettangolo, il perimetro è 52 cm e il doppio della base è \( \frac{8}{\text { dellaltorn }} \)

Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}x+y=\frac{32}{15}\\x-y=\frac{8}{15}\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{32-15y}{15}\\x-y=\frac{8}{15}\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(\frac{32-15y}{15}-y=\frac{8}{15}\) - step3: Multiply both sides of the equation by LCD: \(\left(\frac{32-15y}{15}-y\right)\times 15=\frac{8}{15}\times 15\) - step4: Simplify the equation: \(32-30y=8\) - step5: Move the constant to the right side: \(-30y=8-32\) - step6: Subtract the numbers: \(-30y=-24\) - step7: Change the signs: \(30y=24\) - step8: Divide both sides: \(\frac{30y}{30}=\frac{24}{30}\) - step9: Divide the numbers: \(y=\frac{4}{5}\) - step10: Substitute the value of \(y:\) \(x=\frac{32-15\times \frac{4}{5}}{15}\) - step11: Calculate: \(x=\frac{4}{3}\) - step12: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\y=\frac{4}{5}\end{array}\right.\) - step13: Check the solution: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\y=\frac{4}{5}\end{array}\right.\) - step14: Rewrite: \(\left(x,y\right) = \left(\frac{4}{3},\frac{4}{5}\right)\) Solve the system of equations \( 2b + 2h = 52; 2b = \frac{8}{h} \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}2b+2h=52\\2b=\frac{8}{h}\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}b=26-h\\2b=\frac{8}{h}\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(b:\) \(2\left(26-h\right)=\frac{8}{h}\) - step3: Cross multiply: \(2\left(26-h\right)h=8\) - step4: Expand the expression: \(52h-2h^{2}=8\) - step5: Move the expression to the left side: \(52h-2h^{2}-8=0\) - step6: Rewrite in standard form: \(-2h^{2}+52h-8=0\) - step7: Multiply both sides: \(2h^{2}-52h+8=0\) - step8: Solve using the quadratic formula: \(h=\frac{52\pm \sqrt{\left(-52\right)^{2}-4\times 2\times 8}}{2\times 2}\) - step9: Simplify the expression: \(h=\frac{52\pm \sqrt{\left(-52\right)^{2}-4\times 2\times 8}}{4}\) - step10: Simplify the expression: \(h=\frac{52\pm \sqrt{2640}}{4}\) - step11: Simplify the expression: \(h=\frac{52\pm 4\sqrt{165}}{4}\) - step12: Separate into possible cases: \(\begin{align}&h=\frac{52+4\sqrt{165}}{4}\\&h=\frac{52-4\sqrt{165}}{4}\end{align}\) - step13: Simplify the expression: \(\begin{align}&h=13+\sqrt{165}\\&h=\frac{52-4\sqrt{165}}{4}\end{align}\) - step14: Simplify the expression: \(\begin{align}&h=13+\sqrt{165}\\&h=13-\sqrt{165}\end{align}\) - step15: Evaluate the logic: \(h=13+\sqrt{165}\cup h=13-\sqrt{165}\) - step16: Rearrange the terms: \(\left\{ \begin{array}{l}b=26-h\\h=13+\sqrt{165}\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}b=26-h\\h=13-\sqrt{165}\end{array}\right.\) - step17: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}b=13-\sqrt{165}\\h=13+\sqrt{165}\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}b=13+\sqrt{165}\\h=13-\sqrt{165}\end{array}\right.\) - step18: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}b=13+\sqrt{165}\\h=13-\sqrt{165}\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}b=13-\sqrt{165}\\h=13+\sqrt{165}\end{array}\right.\) - step19: Check the solution: \(\left\{ \begin{array}{l}b=13+\sqrt{165}\\h=13-\sqrt{165}\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}b=13-\sqrt{165}\\h=13+\sqrt{165}\end{array}\right.\) - step20: Rewrite: \(\left(b,h\right) = \left(13+\sqrt{165},13-\sqrt{165}\right)\cup \left(b,h\right) = \left(13-\sqrt{165},13+\sqrt{165}\right)\) ### Problema 9 Abbiamo due numeri razionali \( x \) e \( y \) con le seguenti condizioni: 1. La loro media è \( \frac{16}{15} \): \[ \frac{x + y}{2} = \frac{16}{15} \implies x + y = \frac{32}{15} \] 2. La loro differenza è \( \frac{8}{15} \): \[ x - y = \frac{8}{15} \] Ora possiamo risolvere il sistema di equazioni: \[ \begin{cases} x + y = \frac{32}{15} \\ x - y = \frac{8}{15} \end{cases} \] Risolvendo il sistema, otteniamo: \[ (x,y) = \left(\frac{4}{3}, \frac{4}{5}\right) \] Quindi i due numeri sono \( \frac{4}{3} \) e \( \frac{4}{5} \). --- ### Problema 10 In un rettangolo, abbiamo le seguenti condizioni: 1. Il perimetro è 52 cm: \[ 2b + 2h = 52 \implies b + h = 26 \] 2. Il doppio della base è \( \frac{8}{h} \): \[ 2b = \frac{8}{h} \implies b = \frac{4}{h} \] Ora possiamo risolvere il sistema di equazioni: \[ \begin{cases} b + h = 26 \\ b = \frac{4}{h} \end{cases} \] Sostituendo \( b \) nella prima equazione: \[ \frac{4}{h} + h = 26 \] Moltiplicando per \( h \) per eliminare il denominatore: \[ 4 + h^2 = 26h \implies h^2 - 26h + 4 = 0 \] Risolvendo questa equazione quadratica, otteniamo: \[ (b,h) = \left(13+\sqrt{165}, 13-\sqrt{165}\right) \cup \left(13-\sqrt{165}, 13+\sqrt{165}\right) \] Quindi le dimensioni della base e dell'altezza del rettangolo sono \( 13+\sqrt{165} \) e \( 13-\sqrt{165} \).