2. \( f(x)=\frac{x+1}{x^{3}+1} \)

Claro, analicemos la función \( f(x) = \frac{x+1}{x^{3}+1} \). ### 1. **Simplificación de la función** Primero, factorizamos el denominador: \[ x^{3} + 1 = (x + 1)(x^{2} - x + 1) \] Entonces, la función se simplifica de la siguiente manera: \[ f(x) = \frac{x + 1}{(x + 1)(x^{2} - x + 1)} = \frac{1}{x^{2} - x + 1}, \quad \text{donde } x \neq -1 \] ### 2. **Dominio de la función** El dominio de \( f(x) \) son todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero. \[ x^{3} + 1 = 0 \implies x = -1 \] Por lo tanto, el dominio es: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \] ### 3. **Asíntotas** #### a. **Asíntotas verticales** Existe una asíntota vertical en \( x = -1 \), ya que el denominador se anula allí y el numerador no. #### b. **Asíntotas horizontales** Observando el comportamiento para \( x \to \infty \) y \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^{2} - x + 1} = 0 \] Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en \( y = 0 \). ### 4. **Derivada de la función** Para encontrar la derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^{2} - x + 1} \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( (x^{2} - x + 1)^{-1} \right) = -1 \cdot (x^{2} - x + 1)^{-2} \cdot (2x - 1) = \frac{-(2x - 1)}{(x^{2} - x + 1)^{2}} \] ### 5. **Gráfica de la función** La gráfica de \( f(x) = \frac{1}{x^{2} - x + 1} \) es una curva que se aproxima a la asíntota horizontal \( y = 0 \) a medida que \( x \) tiende a \( \pm\infty \) y presenta una asíntota vertical en \( x = -1 \). Además, el denominador \( x^{2} - x + 1 \) siempre es positivo porque su discriminante \( \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 \), lo que indica que no tiene raíces reales y, por lo tanto, \( f(x) \) es siempre positiva. ### 6. **Comportamiento y Extremos** Para encontrar los puntos críticos, resolvemos \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{-(2x - 1)}{(x^{2} - x + 1)^{2}} = 0 \implies 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \] Evaluando la segunda derivada o analizando el primer derivado alrededor de \( x = \frac{1}{2} \), se puede determinar si es un máximo o mínimo relativo. ### 7. **Conclusión** La función \( f(x) = \frac{x+1}{x^{3}+1} \) se simplifica a \( f(x) = \frac{1}{x^{2} - x + 1} \) con dominio \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \). Presenta una asíntota vertical en \( x = -1 \) y una asíntota horizontal en \( y = 0 \). Además, es una función siempre positiva con un punto crítico en \( x = \frac{1}{2} \).