6. Pruebe las fórmulas de cofunción para el seno, la tangente, la cotargense s secante y la cosecante. 7. Pruebe las fórmulas de suma y resta para la tangente

Question

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Para probar las fórmulas de cofunción y las fórmulas de suma y resta para la tangente, procederemos de la siguiente manera:

### 6. Prueba de las fórmulas de cofunción

Las fórmulas de cofunción son las siguientes:

1. $$\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$$
2. $$\cos(90^\circ - x) = \sin(x)$$
3. $$\tan(90^\circ - x) = \cot(x)$$
4. $$\cot(90^\circ - x) = \tan(x)$$
5. $$\sec(90^\circ - x) = \csc(x)$$
6. $$\csc(90^\circ - x) = \sec(x)$$

**Prueba:**

1. **Para $$\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$$**:
   - Usamos el círculo unitario. En un triángulo rectángulo, el ángulo complementario $$90^\circ - x$$ tiene como cateto opuesto a $$x$$ y como cateto adyacente a $$90^\circ - x$$. Por lo tanto, $$\sin(90^\circ - x)$$ es igual al cateto adyacente, que es $$\cos(x)$$.

2. **Para $$\cos(90^\circ - x) = \sin(x)$$**:
   - Similarmente, el cateto opuesto al ángulo $$x$$ es igual a $$\sin(x)$$, por lo que $$\cos(90^\circ - x)$$ es igual a $$\sin(x)$$.

3. **Para $$\tan(90^\circ - x) = \cot(x)$$**:
   - La tangente es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Por lo tanto, $$\tan(90^\circ - x) = \frac{\sin(90^\circ - x)}{\cos(90^\circ - x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x)$$.

4. **Para $$\cot(90^\circ - x) = \tan(x)$$**:
   - Usando la definición de cotangente, $$\cot(90^\circ - x) = \frac{\cos(90^\circ - x)}{\sin(90^\circ - x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$$.

5. **Para $$\sec(90^\circ - x) = \csc(x)$$**:
   - La secante es el recíproco del coseno, así que $$\sec(90^\circ - x) = \frac{1}{\cos(90^\circ - x)} = \frac{1}{\sin(x)} = \csc(x)$$.

6. **Para $$\csc(90^\circ - x) = \sec(x)$$**:
   - De manera similar, $$\csc(90^\circ - x) = \frac{1}{\sin(90^\circ - x)} = \frac{1}{\cos(x)} = \sec(x)$$.

### 7. Prueba de las fórmulas de suma y resta para la tangente

Las fórmulas de suma y resta para la tangente son:

1. $$\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$$
2. $$\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}$$

**Prueba:**

1. **Para $$\tan(a + b)$$**:
   - Usamos la definición de tangente: $$\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}$$ y $$\tan(b) = \frac{\sin(b)}{\cos(b)}$$.
   - Entonces, $$\tan(a + b) = \frac{\sin(a + b)}{\cos(a + b)}$$.
   - Usamos las fórmulas de suma para seno y coseno:
     - $$\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$$
     - $$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$$
   - Sustituyendo:
     $$
     \tan(a + b) = \frac{\sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)}{\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)}
     $$
   - Multiplicamos numerador y denominador por $$\frac{1}{\cos(a)\cos(b)}$$:
     $$
     \tan(a + b) = \frac{\frac{\sin(a)}{\cos(a)} + \frac{\sin(b)}{\cos(b)}}{1 - \frac{\sin(a)}{\cos(a)}\cdot\frac{\sin(b)}{\cos(b)}}
     $$
   - Esto se simplifica a:
     $$
     \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}
     $$

2. **Para $$\tan(a - b)$$**:
   - Usamos la misma definición de tangente:
   - Entonces, $$\tan(a - b) = \frac{\sin(a - b)}{\cos(a - b)}$$.
   - Usamos las fórmulas de resta para seno y coseno:
     - $$\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$$
     - $$\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$$
   - Sustituyendo:
     $$
     \tan(a - b) = \frac{\sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)}{\cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)}
     $$
   - Multiplicamos numerador y denominador por $$\frac{1}{\cos(a)\cos(b)}$$:
     $$
     \tan(a - b) = \frac{\frac{\sin(a)}{\cos(a)} - \frac{\sin(b)}{\cos(b)}}{1 + \frac{\sin(a)}{\cos(a)}\cdot\frac{\sin(b)}{\cos(b)}}
     $$
   - Esto se simplifica a:
     $$
     \tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}
     $$

Con esto, hemos probado las fórmulas de cofunción y las fórmulas de suma y resta para la tangente.
Para probar las fórmulas de cofunción y las fórmulas de suma y resta para la tangente, se siguen los siguientes pasos: 1. **Fórmulas de Cofunción**: - $$\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$$ - $$\cos(90^\circ - x) = \sin(x)$$ - $$\tan(90^\circ - x) = \cot(x)$$ - $$\cot(90^\circ - x) = \tan(x)$$ - $$\sec(90^\circ - x) = \csc(x)$$ - $$\csc(90^\circ - x) = \sec(x)$$ 2. **Fórmulas de Suma y Resta para Tangente**: - $$\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$$ - $$\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}$$ Estas fórmulas se demuestran utilizando la definición de las funciones trigonométricas y las fórmulas de suma y resta para seno y coseno.

6. Pruebe las fórmulas de cofunción para el seno, la tangente, la cotargense s secante y la cosecante. 7. Pruebe las fórmulas de suma y resta para la tangente

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