Question
5. Zeichne die Graphen der Exponentialfunktionen \( f \) und \( g \) mit \( f(x)=\left(\frac{3}{2}\right)^{x+1} \) bzw. \( g(x)=\left(\frac{3}{2}\right)^{x-2} \). Durch welche Verschiebung geht der Graph von \( g \) aus dem Graphen von f hervor?
Ask by Santiago Lyons. in the United Kingdom
Feb 25,2025
Upstudy AI Solution
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Answer
Der Graph von \( g \) ist um 3 Einheiten nach rechts verschoben im Vergleich zum Graphen von \( f \).
Solution
Wir haben
f(x) = (3/2)^(x + 1)
g(x) = (3/2)^(x – 2).
Um herauszufinden, wie g aus f durch Verschiebung hervorgeht, drücken wir g in Abhängigkeit von f aus. Dazu setzen wir beim Argument von f an, was wir brauchen, um (3/2)^(x–2) zu erhalten:
Beachte, dass
f(x – 3) = (3/2)^[(x – 3) + 1] = (3/2)^(x – 2) = g(x).
Das bedeutet, dass der Funktionswert von g an der Stelle x gleich dem Funktionswert von f an der Stelle (x – 3) ist. Daraus folgt, dass der Graph der Funktion g um 3 Einheiten nach rechts verschoben ist im Vergleich zu f.
Zusammenfassung:
Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch eine horizontale Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts.
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Die Graphen der Exponentialfunktionen \( f(x) \) und \( g(x) \) sind Variationen derselben Basis \( \frac{3}{2} \), aber sie unterscheiden sich durch die Verschiebung entlang der x-Achse. Während \( f(x) = \left(\frac{3}{2}\right)^{x+1} \) am Punkt \( x = -1 \) den Wert 1 annimmt, verschiebt sich \( g(x) = \left(\frac{3}{2}\right)^{x-2} \) um 3 Einheiten nach rechts. Somit können wir sagen, dass der Graph von \( g \) durch eine Verschiebung des Graphen von \( f \) um 3 Einheiten nach rechts entsteht, was den Ausdruck \( f(x-3) = g(x) \) erklärt. So wird deutlich, dass Exponentialfunktionen schöne Verwandlungen durch einfache Verschiebungen erfahren können!
