\( \frac { \sqrt[ n ] { 2 + x } } { 2 } = \sqrt[ n ] { 2 x } - \frac { \sqrt[ n ] { 2 + x } } { x } \)

Queremos resolver la ecuación   (√[n](2 + x))⁄2 = √[n](2x) – (√[n](2 + x))⁄x. A continuación, se muestra un procedimiento paso a paso: 1. Escribamos la ecuación original de forma clara:   √[n](2 + x)⁄2 = √[n](2x) – √[n](2 + x)⁄x. 2. Llevamos el término con √[n](2 + x)⁄x al mismo lado que el otro término que involucra √[n](2 + x). Así, sumamos (√[n](2 + x))/x a ambos lados:   (√[n](2 + x))/2 + (√[n](2 + x))/x = √[n](2x). 3. Factorizamos √[n](2 + x) en el lado izquierdo:   √[n](2 + x)·(1/2 + 1/x) = √[n](2x). 4. Observamos que 1/2 + 1/x tiene común denominador:   1/2 + 1/x = (x + 2)/(2x). Por lo que la ecuación queda:   √[n](2 + x) · ((x + 2)/(2x)) = √[n](2x). 5. Multiplicamos ambos lados por 2x (recordando que x ≠ 0):   √[n](2 + x) · (x + 2) = 2x · √[n](2x). 6. Ahora, elevamos ambos lados a la n-ésima potencia para “eliminar” las raíces. (Suponemos que n es un número natural positivo y que las expresiones están definidas):   [√[n](2 + x) · (x + 2)]ⁿ = [2x · √[n](2x)]ⁿ. Recordemos que (√[n](A))ⁿ = A. Por tanto, el miembro izquierdo se transforma en:   (2 + x) · (x + 2)ⁿ, y el miembro derecho en:   (2x)ⁿ · (√[n](2x))ⁿ = (2x)ⁿ · (2x) = (2x)^(n+1). Pero notamos que 2 + x es lo mismo que x + 2, por lo que:   (x + 2)^(n+1) = (2x)^(n+1). 7. Si (x + 2)^(n+1) = (2x)^(n+1) y suponiendo que n + 1 ≠ 0 (lo cual es cierto para n ∈ ℕ⁺), entonces elevando a la potencia (n+1)-ésima inversa (o bien tomando la raíz (n + 1)-ésima) obtenemos:   x + 2 = 2x. 8. De la ecuación x + 2 = 2x despejamos x:   2 = 2x – x ⟹ 2 = x. Verifiquemos rápidamente: al sustituir x = 2 en la ecuación original tenemos   Lado izquierdo: √[n](2 + 2)⁄2 = √[n](4)⁄2.   Lado derecho: √[n](2·2) – √[n](4)/2 = √[n](4) – √[n](4)/2 = √[n](4)/2. Así, ambos lados son iguales. Por lo tanto, la solución de la ecuación es:   x = 2.