(3) Resuelua la exvacón polinominal, epesar la respuesta en forma grafika, en forma de intavado y en forma de Jesievualdad. \( -2+x^{2} \geq 3(x+6)-2 \)

Para resolver la desigualdad polinómica \( -2+x^{2} \geq 3(x+6)-2 \), primero simplificaremos la desigualdad y luego la resolveremos gráficamente, en forma de intervalo y en forma de igualdad. 1. Simplificar la desigualdad: \[ -2+x^{2} \geq 3(x+6)-2 \] \[ -2+x^{2} \geq 3x+18-2 \] \[ -2+x^{2} \geq 3x+16 \] \[ x^{2} - 3x - 18 \geq 0 \] 2. Resolver la desigualdad gráficamente: Para resolver la desigualdad gráficamente, necesitamos encontrar los valores de \( x \) para los cuales la desigualdad es verdadera. Esto se puede hacer graficando la función \( f(x) = x^{2} - 3x - 18 \) y determinando los intervalos en los cuales la función está por encima o por debajo del eje x. 3. Resolver la desigualdad en forma de intervalo: Para resolver la desigualdad en forma de intervalo, necesitamos encontrar los valores de \( x \) para los cuales la desigualdad es verdadera. Esto se puede hacer determinando los intervalos en los cuales la función \( f(x) = x^{2} - 3x - 18 \) es positiva o negativa. 4. Resolver la desigualdad en forma de igualdad: Para resolver la desigualdad en forma de igualdad, necesitamos encontrar los valores de \( x \) para los cuales la desigualdad es igualdad. Esto se puede hacer determinando los valores de \( x \) para los cuales la función \( f(x) = x^{2} - 3x - 18 \) es igual a cero. Vamos a resolver la desigualdad paso a paso. Solve the inequality by following steps: - step0: Solve the inequality by testing the values in the interval: \(-2+x^{2}\geq 3\left(x+6\right)-2\) - step1: Cancel equal terms: \(x^{2}\geq 3\left(x+6\right)\) - step2: Move the expression to the left side: \(x^{2}-3\left(x+6\right)\geq 0\) - step3: Subtract the terms: \(x^{2}-3x-18\geq 0\) - step4: Rewrite the expression: \(x^{2}-3x-18=0\) - step5: Factor the expression: \(\left(x-6\right)\left(x+3\right)=0\) - step6: Separate into possible cases: \(\begin{align}&x-6=0\\&x+3=0\end{align}\) - step7: Solve the equation: \(\begin{align}&x=6\\&x=-3\end{align}\) - step8: Determine the test intervals: \(\begin{align}&x<-3\\&-36\end{align}\) - step9: Choose a value: \(\begin{align}&x_{1}=-4\\&x_{2}=2\\&x_{3}=7\end{align}\) - step10: Test the chosen value: \(\begin{align}&x<-3\textrm{ }\textrm{is the solution}\\&-36\textrm{ }\textrm{is the solution}\end{align}\) - step11: Include the critical value: \(\begin{align}&x\leq -3\textrm{ }\textrm{is the solution}\\&x\geq 6\textrm{ }\textrm{is the solution}\end{align}\) - step12: The final solution is \(x \in \left(-\infty,-3\right]\cup \left[6,+\infty\right):\) \(x \in \left(-\infty,-3\right]\cup \left[6,+\infty\right)\) La solución de la desigualdad \( -2+x^{2} \geq 3(x+6)-2 \) es \( x \in (-\infty,-3] \cup [6,+\infty) \). Por lo tanto, la desigualdad es verdadera para todos los valores de \( x \) menores o iguales a -3 y mayores o iguales a 6. En forma gráfica, la desigualdad se puede representar como un intervalo en el eje x, donde los valores de \( x \) se encuentran en el intervalo \( (-\infty,-3] \cup [6,+\infty) \). En forma de intervalo, la desigualdad se puede representar como \( x \in (-\infty,-3] \cup [6,+\infty) \). En forma de igualdad, la desigualdad se puede representar como \( x = -3 \) o \( x = 6 \).