Una espiral conoide es una curva con ecuación \( \mathbf{r}(t)=\left\langle 8 e^{-6 t} \cos (t), 8 e^{-6 t} \sin (t), 8 e^{-6 t}\right\rangle \) El coseno del ángulo entre el vector tangente al espiral conoide en \( t=0 \) y el eje \( z \) positivo es: Nota: Escriba su respuesta con 2 cifras decimales

Para encontrar el coseno del ángulo entre el vector tangente a la espiral conoide en \( t=0 \) y el eje \( z \) positivo, seguiremos estos pasos: 1. **Encontrar el vector tangente**: El vector tangente se obtiene derivando el vector de posición \( \mathbf{r}(t) \) con respecto a \( t \). 2. **Evaluar el vector tangente en \( t=0 \)**: Sustituiremos \( t=0 \) en la derivada para obtener el vector tangente en ese punto. 3. **Calcular el coseno del ángulo**: Usaremos la fórmula del coseno del ángulo entre dos vectores, que se define como: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{T} \cdot \mathbf{z}}{|\mathbf{T}| |\mathbf{z}|} \] donde \( \mathbf{T} \) es el vector tangente y \( \mathbf{z} \) es el vector unitario en la dirección del eje \( z \). Ahora, procedamos a calcular el vector tangente y luego el coseno del ángulo. ### Paso 1: Derivar el vector de posición La ecuación del vector de posición es: \[ \mathbf{r}(t) = \langle 8 e^{-6t} \cos(t), 8 e^{-6t} \sin(t), 8 e^{-6t} \rangle \] Derivamos \( \mathbf{r}(t) \) con respecto a \( t \): \[ \mathbf{r}'(t) = \left\langle \frac{d}{dt}(8 e^{-6t} \cos(t)), \frac{d}{dt}(8 e^{-6t} \sin(t)), \frac{d}{dt}(8 e^{-6t}) \right\rangle \] Calculamos cada componente: 1. Para la primera componente: \[ \frac{d}{dt}(8 e^{-6t} \cos(t)) = 8 \left(-6 e^{-6t} \cos(t) - e^{-6t} \sin(t)\right) = 8 e^{-6t} (-6 \cos(t) - \sin(t)) \] 2. Para la segunda componente: \[ \frac{d}{dt}(8 e^{-6t} \sin(t)) = 8 \left(-6 e^{-6t} \sin(t) + e^{-6t} \cos(t)\right) = 8 e^{-6t} (-6 \sin(t) + \cos(t)) \] 3. Para la tercera componente: \[ \frac{d}{dt}(8 e^{-6t}) = -48 e^{-6t} \] Por lo tanto, el vector tangente es: \[ \mathbf{r}'(t) = \left\langle 8 e^{-6t} (-6 \cos(t) - \sin(t)), 8 e^{-6t} (-6 \sin(t) + \cos(t)), -48 e^{-6t} \right\rangle \] ### Paso 2: Evaluar en \( t=0 \) Sustituyendo \( t=0 \): \[ \mathbf{r}'(0) = \left\langle 8 e^{0} (-6 \cos(0) - \sin(0)), 8 e^{0} (-6 \sin(0) + \cos(0)), -48 e^{0} \right\rangle \] \[ = \left\langle 8 (-6 \cdot 1 - 0), 8 (0 + 1), -48 \right\rangle = \left\langle -48, 8, -48 \right\rangle \] ### Paso 3: Calcular el coseno del ángulo El vector unitario en la dirección del eje \( z \) es: \[ \mathbf{z} = \langle 0, 0, 1 \rangle \] Ahora calculamos el producto punto: \[ \mathbf{T} \cdot \mathbf{z} = \langle -48, 8, -48 \rangle \cdot \langle 0, 0, 1 \rangle = -48 \] Calculamos la magnitud de \( \mathbf{T} \): \[ |\mathbf{T}| = \sqrt{(-48)^2 + 8^2 + (-48)^2} = \sqrt{2304 + 64 + 2304} = \sqrt{2432} \] La magnitud de \( \mathbf{z} \) es: \[ |\mathbf{z}| = 1 \] Finalmente, el coseno del ángulo es: \[ \cos(\theta) = \frac{-48}{\sqrt{2432} \cdot 1} \] Calculamos \( \sqrt{2432} \): \[ \sqrt{2432} \approx 49.32 \] Por lo tanto: \[ \cos(\theta) \approx \frac{-48}{49.32} \approx -0.97 \] ### Respuesta Final El coseno del ángulo entre el vector tangente al espiral conoide en \( t=0 \) y el eje \( z \) positivo es aproximadamente: \[ \boxed{-0.97} \]