$$ \left\{\begin{array}{l}y=2 x^{2}-5+2 \ y=-3 x^{2}+4 x+3\end{array} \quad ight. $$ ANALÍTiCO

Question

$$ \left\{\begin{array}{l}y=2 x^{2}-5+2 \ y=-3 x^{2}+4 x+3\end{array} \quadight. $$ ANALÍTiCO

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Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

1) y = 2x² – 5 + 2  
  2) y = –3x² + 4x + 3

Paso 1. Simplificar la primera ecuación  
La ecuación (1) se simplifica:
  y = 2x² – 5 + 2 = 2x² – 3

Paso 2. Igualar las dos expresiones de y  
Como ambas igualan a y, igualamos:
  2x² – 3 = –3x² + 4x + 3

Paso 3. Reorganizar la ecuación para formar una ecuación cuadrática  
Llevamos todos los términos al mismo lado:
  2x² + 3x² – 4x – 3 – 3 = 0  
  5x² – 4x – 6 = 0

Paso 4. Resolver la ecuación cuadrática  
La ecuación es:  
  5x² – 4x – 6 = 0  
Usamos la fórmula general:  
  x = [–b ± √(b² – 4ac)] / (2a)  
donde a = 5, b = –4 y c = –6.

Calculamos el discriminante:
  Δ = b² – 4ac = (–4)² – 4·5·(–6) = 16 + 120 = 136

Entonces:
  x = [4 ± √136] / (10)
Recordando que √136 = √(4·34) = 2√34, se tiene:
  x = [4 ± 2√34] / 10 = [2 ± √34] / 5

Así se obtienen las dos soluciones para x:
  x₁ = (2 + √34) / 5  y  x₂ = (2 – √34) / 5

Paso 5. Hallar los correspondientes valores de y  
Sustituimos en la ecuación simplificada (1): y = 2x² – 3.

Para x₁:
  y₁ = 2[(2 + √34)/5]² – 3  
   = 2[( (2 + √34)² )/25] – 3  
Primero, expandamos (2 + √34)²:
  (2 + √34)² = 4 + 4√34 + 34 = 38 + 4√34  
Entonces:
  y₁ = 2(38 + 4√34) / 25 – 3  
   = (76 + 8√34) / 25 – 3  
Pasamos 3 a fracción con denominador 25: 3 = 75/25
  y₁ = (76 + 8√34 – 75) / 25 = (1 + 8√34) / 25

Para x₂:
  y₂ = 2[(2 – √34)/5]² – 3  
   = 2[( (2 – √34)² )/25] – 3  
Expandiendo (2 – √34)²:
  (2 – √34)² = 4 – 4√34 + 34 = 38 – 4√34  
Entonces:
  y₂ = 2(38 – 4√34) / 25 – 3  
   = (76 – 8√34) / 25 – 3  
   = (76 – 8√34 – 75) / 25 = (1 – 8√34) / 25

Paso 6. Resumen de la solución  
Las soluciones del sistema son:
  Solución 1: x = (2 + √34)/5, y = (1 + 8√34)/25  
  Solución 2: x = (2 – √34)/5, y = (1 – 8√34)/25

Esta es la solución analítica completa del sistema de ecuaciones propuesto.
Las soluciones del sistema son: - $$ x = \frac{2 + \sqrt{34}}{5} $$ y $$ y = \frac{1 + 8\sqrt{34}}{25} $$ - $$ x = \frac{2 - \sqrt{34}}{5} $$ y $$ y = \frac{1 - 8\sqrt{34}}{25} $$

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