1.) Diferencia de funciones c.-) \( y=(a x+b)^{3} \ln (a x+b) \)

Para diferenciar la función \( y = (a x + b)^{3} \ln(a x + b) \), utilizaremos la **regla del producto** y la **regla de la cadena**. A continuación, se muestra el proceso paso a paso: ### Paso 1: Identificar las funciones Sea: - \( u(x) = (a x + b)^{3} \) - \( v(x) = \ln(a x + b) \) ### Paso 2: Aplicar la regla del producto La derivada de \( y \) respecto a \( x \) es: \[ y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \] ### Paso 3: Calcular las derivadas individuales 1. **Derivada de \( u(x) \):** \[ u'(x) = \frac{d}{dx} (a x + b)^{3} = 3(a x + b)^{2} \cdot a = 3a(a x + b)^{2} \] 2. **Derivada de \( v(x) \):** \[ v'(x) = \frac{d}{dx} \ln(a x + b) = \frac{1}{a x + b} \cdot a = \frac{a}{a x + b} \] ### Paso 4: Sustituir las derivadas en la regla del producto \[ y' = 3a(a x + b)^{2} \cdot \ln(a x + b) + (a x + b)^{3} \cdot \frac{a}{a x + b} \] ### Paso 5: Simplificar la expresión Simplificamos el segundo término: \[ (a x + b)^{3} \cdot \frac{a}{a x + b} = a(a x + b)^{2} \] Entonces, la derivada simplificada es: \[ y' = 3a(a x + b)^{2} \ln(a x + b) + a(a x + b)^{2} \] Factorizamos \( a(a x + b)^{2} \) del término común: \[ y' = a(a x + b)^{2} \left[ 3 \ln(a x + b) + 1 \right] \] ### Resultado Final \[ y' = a(a x + b)^{2} \left( 3 \ln(a x + b) + 1 \right) \]