\( \left. \begin{array} { l } { 1 + a ^ { 7 } } \\ { \frac { 1 + a ^ { 7 } } { 1 + a } = ( 1 ) ^ { 6 } - ( 1 ) ^ { 5 } a + ( 1 ) ^ { 4 } a ^ { 2 } - ( - 1 ) ^ { 3 } a ^ { 3 } + ( 1 ) ^ { 2 } a ^ { 4 } + ( 1 ) a ^ { 5 } + c } \\ { = 1 - a + a ^ { 2 } - a ^ { 3 } + a ^ { 4 } - a ^ { 5 } + a ^ { 6 } } \\ { 1 + a ^ { 7 } = ( 1 + a ) ( 1 - a + a ^ { 2 } - a ^ { 3 } + a ^ { 4 } - a ^ { 5 } + a ^ { 6 } ) } \end{array} \right. \)

Claro, a continuación se explica el proceso de factorización de la expresión \(1 + a^7\) en español: ### Factorización de \(1 + a^7\) Queremos factorizar la expresión \(1 + a^7\). Para ello, observamos que: \[ \frac{1 + a^7}{1 + a} \] Realizamos la división polinómica de \(1 + a^7\) entre \(1 + a\). Al hacerlo, obtenemos: \[ \frac{1 + a^7}{1 + a} = 1 - a + a^2 - a^3 + a^4 - a^5 + a^6 \] Esto se puede verificar mediante la multiplicación: \[ (1 + a)(1 - a + a^2 - a^3 + a^4 - a^5 + a^6) \] Al multiplicar los factores, se simplifican los términos intermedios y se obtiene nuevamente \(1 + a^7\), lo que confirma la factorización correcta. Por lo tanto, la factorización completa es: \[ 1 + a^7 = (1 + a)(1 - a + a^2 - a^3 + a^4 - a^5 + a^6) \] ### Paso a Paso: 1. **Dividir \(1 + a^7\) entre \(1 + a\):** \[ \frac{1 + a^7}{1 + a} = 1 - a + a^2 - a^3 + a^4 - a^5 + a^6 \] 2. **Multiplicar los factores obtenidos:** \[ (1 + a) \times (1 - a + a^2 - a^3 + a^4 - a^5 + a^6) = 1 + a^7 \] Este método es una aplicación del **teorema del residuo** y **división polinómica**, asegurando que el polinomio se descomponga adecuadamente en factores más simples.