37. Demostrar que los puntos siguientes son los vértices de un paralelogramo, \( (-1,-5),(2,1),(1,5),(-2,-1) \)

Para demostrar que los puntos \( A(-1, -5) \), \( B(2, 1) \), \( C(1, 5) \) y \( D(-2, -1) \) son los vértices de un paralelogramo, debemos verificar que los vectores que forman los lados opuestos son iguales. Esto se puede hacer calculando las longitudes de los lados y comprobando que los lados opuestos son iguales. ### Paso 1: Calcular las longitudes de los lados Los lados del paralelogramo se pueden formar con los siguientes pares de puntos: 1. \( AB \) entre \( A(-1, -5) \) y \( B(2, 1) \) 2. \( BC \) entre \( B(2, 1) \) y \( C(1, 5) \) 3. \( CD \) entre \( C(1, 5) \) y \( D(-2, -1) \) 4. \( DA \) entre \( D(-2, -1) \) y \( A(-1, -5) \) ### Paso 2: Calcular las longitudes La longitud de un segmento de línea entre dos puntos \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \) se calcula con la fórmula: \[ L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Ahora, calculamos las longitudes de los lados: 1. **Longitud de \( AB \)**: \[ L_{AB} = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - (-5))^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (1 + 5)^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} \] 2. **Longitud de \( BC \)**: \[ L_{BC} = \sqrt{(1 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \] 3. **Longitud de \( CD \)**: \[ L_{CD} = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} \] 4. **Longitud de \( DA \)**: \[ L_{DA} = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (-5 - (-1))^2} = \sqrt{(1)^2 + (-5 + 1)^2} = \sqrt{1 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \] ### Paso 3: Comparar las longitudes Ahora, comparamos las longitudes de los lados: - \( L_{AB} = \sqrt{45} \) y \( L_{CD} = \sqrt{45} \) (lados opuestos) - \( L_{BC} = \sqrt{17} \) y \( L_{DA} = \sqrt{17} \) (lados opuestos) ### Conclusión Dado que los lados opuestos son iguales, podemos concluir que los puntos \( A(-1, -5) \), \( B(2, 1) \), \( C(1, 5) \) y \( D(-2, -1) \) son los vértices de un paralelogramo.