4. Representa la función conformada por lineas rectas que cumple con las siguientes caracteris- ticas: a) Df: \( x \in(-\infty, 5] \) Rf: \( y \in(-\infty, 3] \) Creciente en \( (-\infty,-2) \) Constante en \( (-2,2) \) Decreciente en \( (2,5) \)

Se pide definir una función lineal a trozos tal que: 1. Su dominio es (–∞, 5] y su imagen (–∞, 3]. 2. Sea creciente en (–∞, –2), constante en (–2, 2) y decreciente en (2, 5). Una forma de lograrlo es “encajar” los tramos de modo que la función sea continua (aunque no es requisito, suele esperarse) y respete los extremos impuestos. En particular, conviene que en el tramo constante la función tome el valor máximo (3), ya que el rango debe ser (–∞, 3]. Planteamos entonces la función f(x) definida por:   Para x < –2: f(x) = x + 5   Para –2 ≤ x ≤ 2: f(x) = 3   Para 2 < x ≤ 5: f(x) = –x + 5 Verifiquemos que se cumplen las condiciones: 1. Tramo creciente en (–∞, –2):   La función f(x) = x + 5 es lineal con pendiente 1 (positiva). Además, f(–2) = (–2) + 5 = 3, lo que “encaja” con el tramo constante.   Cuando x → –∞, f(x) → –∞, así que en este tramo se toman todos los valores desde –∞ hasta 3. 2. Tramo constante en (–2, 2):   Se define f(x) = 3. De modo que para todo x ∈ [–2, 2] se tiene f(x) = 3. 3. Tramo decreciente en (2, 5]:   La función f(x) = –x + 5 es decreciente, pues su pendiente es –1. Además, f(2) = –2 + 5 = 3 (nótese que el valor en x = 2 coincide nuevamente con el de la parte constante) y f(5) = –5 + 5 = 0.   Así, para x entre 2 y 5, los valores de f(x) descienden de 3 hasta 0. Finalmente, el conjunto imagen (o rango) de f es la unión de los valores tomados en cada tramo. El tramo x + 5 para x < –2 alcanza todos los valores desde –∞ hasta 3, y los otros dos tramos (constante y la porción lineal decreciente) están contenidos en [0, 3]. Por ello, la imagen completa es (–∞, 3]. Esta definición respeta:  • Dominio: x ∈ (–∞, 5].  • Imagen: f(x) ∈ (–∞, 3].  • Crecimiento en (–∞, –2), constancia en (–2, 2) y decrecimiento en (2, 5). Por lo tanto, la función se representa de la siguiente manera:   f(x) = { x + 5    si x < –2        3     si –2 ≤ x ≤ 2        –x + 5   si 2 < x ≤ 5 }