№1. В прямоугольном треугольнике \( \boldsymbol{A B C} \) с прямым углом C проведена высота \( C D \). Найдите величину угла \( A \), если \( D B=8 \), а \( B C=16 \).

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике значения катетов и высоты могут помочь нам найти углы. В данном случае, высота \( C D \) делит треугольник \( A B C \) на два меньших треугольника: \( A C D \) и \( B C D \). По теореме о пропорциональности отрезков: \[ \frac{D B}{B C} = \frac{C D}{A C} = \frac{C D}{D A} \] Так как \( D B = 8 \) и \( B C = 16 \), можно выразить \( C D \): \( D B = 8 \Rightarrow C D = x \) (высота), \( B C = 16 \Rightarrow C A = \sqrt{(B C)^2 - (D B)^2} = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \). Найдём угол \( A \) с помощью тангенса: \[ \tan(A) = \frac{C D}{D B} = \frac{x}{8} \quad (где x – высота C D). \] Зная, что \( C D = 8\sqrt{3}/2 \) и \( DB = 8 \), получаем: \[ \tan(A) = \frac{8 \sqrt{3}/2}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Следовательно, угол \( A = 60^\circ \). Таким образом, величина угла \( A \) равна \( 60^\circ \).