Условие: написать уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности: $$ x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=3 $$, проходящей через точку $$ \mathbf{M}(1 ; 1 $$; 0 (

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Рассмотрим поверхность, заданную уравнением
  x² + 2y² + z² = 3.
Найдем уравнение касательной плоскости и уравнения нормали в точке M(1, 1, 0).

1. Шаг. Вычисление градиента

Запишем функцию F(x, y, z) = x² + 2y² + z² – 3, уровневой набор которой (F(x, y, z) = 0) задаёт нашу поверхность. Градиент этой функции даёт нормальный вектор к поверхности:

∇F = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z).

Вычислим частные производные:
  ∂F/∂x = 2x,
  ∂F/∂y = 4y,
  ∂F/∂z = 2z.

В точке M(1, 1, 0):
  ∇F(1, 1, 0) = (2·1, 4·1, 2·0) = (2, 4, 0).

2. Уравнение касательной плоскости

Формула уравнения касательной плоскости к уровневой поверхности F(x, y, z) = 0 в точке (x₀, y₀, z₀) имеет вид:
  F_x(x₀, y₀, z₀)·(x – x₀) + F_y(x₀, y₀, z₀)·(y – y₀) + F_z(x₀, y₀, z₀)·(z – z₀) = 0.

Подставляем значения:
  2(x – 1) + 4(y – 1) + 0·(z – 0) = 0,
  2(x – 1) + 4(y – 1) = 0.

Раскроем скобки:
  2x – 2 + 4y – 4 = 0 ⟹ 2x + 4y – 6 = 0.

Можно разделить уравнение на 2:
  x + 2y – 3 = 0.

Таким образом, уравнение касательной плоскости:
  x + 2y – 3 = 0.

3. Уравнения нормали

Нормаль к поверхности в точке M направлена вдоль вектора градиента ∇F(1, 1, 0) = (2, 4, 0). Поэтому параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M и направленные вдоль вектора (2, 4, 0) имеют вид:
  x = 1 + 2t,
  y = 1 + 4t,
  z = 0 + 0·t = 0,
где t ∈ ℝ.

Таким образом, уравнения нормали к поверхности в точке M:
  x = 1 + 2t,
  y = 1 + 4t,
  z = 0.

Ответ:

Касательная плоскость: x + 2y – 3 = 0.

Нормаль: x = 1 + 2t, y = 1 + 4t, z = 0, где t ∈ ℝ.
Касательная плоскость: x + 2y – 3 = 0. Нормаль: x = 1 + 2t, y = 1 + 4t, z = 0, где t ∈ ℝ.

Условие: написать уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности: \( x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=3 \), проходящей через точку \( \mathbf{M}(1 ; 1 \); 0 (

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Geometry Questions