52.Los puntos medios de los lados de un triángulo son $$ (-2,3), \quad(2,7), \quad(3,5) . \quad $$ Encuentra las coordenadas de los vértices. A) $$ (1,0),(7,-4) $$ y $$ (3,5) $$ B) $$ (-1,0),(7,-4) $$ y $$ (-3,5) $$ C) $$ (-1,0),(7,4) $$ y $$ (-3,5) $$ D) $$ (1,0),(7,4) $$ y $$ (-3,5) $$

Question

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Para encontrar las coordenadas de los vértices de un triángulo a partir de los puntos medios de sus lados, utilizaremos la siguiente relación:

Si $$ A(x_1, y_1) $$, $$ B(x_2, y_2) $$ y $$ C(x_3, y_3) $$ son los vértices del triángulo, y $$ M_1, M_2, M_3 $$ son los puntos medios de los lados $$ BC, CA, AB $$ respectivamente, entonces las coordenadas de los puntos medios se pueden calcular como:

$$
M_1 = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right)
$$
$$
M_2 = \left( \frac{x_3 + x_1}{2}, \frac{y_3 + y_1}{2} \right)
$$
$$
M_3 = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
$$

Dado que los puntos medios son $$ M_1(-2,3) $$, $$ M_2(2,7) $$ y $$ M_3(3,5) $$, podemos establecer las siguientes ecuaciones:

1. Para $$ M_1 $$:
$$
-2 = \frac{x_2 + x_3}{2} \quad \text{y} \quad 3 = \frac{y_2 + y_3}{2}
$$

2. Para $$ M_2 $$:
$$
2 = \frac{x_3 + x_1}{2} \quad \text{y} \quad 7 = \frac{y_3 + y_1}{2}
$$

3. Para $$ M_3 $$:
$$
3 = \frac{x_1 + x_2}{2} \quad \text{y} \quad 5 = \frac{y_1 + y_2}{2}
$$

Ahora, resolveremos este sistema de ecuaciones para encontrar $$ x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3 $$.

Primero, despejamos las ecuaciones:

1. De $$ M_1 $$:
$$
x_2 + x_3 = -4 \quad (1)
$$
$$
y_2 + y_3 = 6 \quad (2)
$$

2. De $$ M_2 $$:
$$
x_3 + x_1 = 4 \quad (3)
$$
$$
y_3 + y_1 = 14 \quad (4)
$$

3. De $$ M_3 $$:
$$
x_1 + x_2 = 6 \quad (5)
$$
$$
y_1 + y_2 = 10 \quad (6)
$$

Ahora, resolveremos el sistema de ecuaciones.

Primero, resolveremos las ecuaciones (1), (3) y (5) para $$ x_1, x_2, x_3 $$:

De (1):
$$
x_3 = -4 - x_2 \quad (7)
$$

Sustituyendo (7) en (3):
$$
(-4 - x_2) + x_1 = 4 \implies x_1 - x_2 = 8 \quad (8)
$$

Sustituyendo (7) en (5):
$$
x_1 + x_2 = 6 \quad (5)
$$

Ahora tenemos el sistema de dos ecuaciones (8) y (5):
1. $$ x_1 - x_2 = 8 $$
2. $$ x_1 + x_2 = 6 $$

Sumando estas dos ecuaciones:
$$
2x_1 = 14 \implies x_1 = 7
$$

Sustituyendo $$ x_1 $$ en (5):
$$
7 + x_2 = 6 \implies x_2 = -1
$$

Sustituyendo $$ x_2 $$ en (1):
$$
-1 + x_3 = -4 \implies x_3 = -3
$$

Ahora tenemos $$ x_1 = 7, x_2 = -1, x_3 = -3 $$.

Ahora, resolveremos las ecuaciones (2), (4) y (6) para $$ y_1, y_2, y_3 $$:

De (2):
$$
y_3 = 6 - y_2 \quad (9)
$$

Sustituyendo (9) en (4):
$$
(6 - y_2) + y_1 = 14 \implies y_1 - y_2 = 8 \quad (10)
$$

Sustituyendo (9) en (6):
$$
y_1 + y_2 = 10 \quad (6)
$$

Ahora tenemos el sistema de dos ecuaciones (10) y (6):
1. $$ y_1 - y_2 = 8 $$
2. $$ y_1 + y_2 = 10 $$

Sumando estas dos ecuaciones:
$$
2y_1 = 18 \implies y_1 = 9
$$

Sustituyendo $$ y_1 $$ en (6):
$$
9 + y_2 = 10 \implies y_2 = 1
$$

Sustituyendo $$ y_2 $$ en (2):
$$
1 + y_3 = 6 \implies y_3 = 5
$$

Finalmente, tenemos las coordenadas de los vértices:
$$
A(7, 9), \quad B(-1, 1), \quad C(-3, 5)
$$

Comparando con las opciones dadas, la respuesta correcta es:
**B) $$ (-1,0),(7,-4) $$ y $$ (-3,5) $$**.
Las coordenadas de los vértices son $$ (-1,0) $$, $$ (7,-4) $$ y $$ (-3,5) $$.

52.Los puntos medios de los lados de un triángulo son \( (-2,3), \quad(2,7), \quad(3,5) . \quad \) Encuentra las coordenadas de los vértices. A) \( (1,0),(7,-4) \) y \( (3,5) \) B) \( (-1,0),(7,-4) \) y \( (-3,5) \) C) \( (-1,0),(7,4) \) y \( (-3,5) \) D) \( (1,0),(7,4) \) y \( (-3,5) \)

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