Para la función de costo indicada determine la razón de cambio porcentual para \( \mathrm{q}=5 \) \( C=\ln (2 q+3)^{4}(20-3 q)^{3} \) Seleccione una: a. \( 9.52 \% \) b. \( 10.12 \% \) c. \( -9.32 \% \) d. \( -7.82 \% \)

Para determinar la **razón de cambio porcentual** de la función de costo \( C = \ln \left( (2q + 3)^4 (20 - 3q)^3 \right) \) en \( q = 5 \), seguimos los siguientes pasos: 1. **Derivar la función de costo respecto a \( q \):** \[ C = 4 \ln(2q + 3) + 3 \ln(20 - 3q) \] \[ \frac{dC}{dq} = \frac{8}{2q + 3} - \frac{9}{20 - 3q} \] 2. **Evaluar la derivada en \( q = 5 \):** \[ \frac{dC}{dq}\bigg|_{q=5} = \frac{8}{13} - \frac{9}{5} = \frac{40 - 117}{65} = \frac{-77}{65} \approx -1.1846 \] 3. **Calcular el valor de \( C \) en \( q = 5 \):** \[ C = 4 \ln(13) + 3 \ln(5) \approx 4(2.5649) + 3(1.6094) \approx 15.0881 \] 4. **Determinar la razón de cambio porcentual:** \[ \text{Razón de cambio porcentual} = \left( \frac{-1.1846}{15.0881} \right) \times 100\% \approx -7.86\% \] Esto se aproxima a la opción **d. -7.82 %**. **Respuesta:** d. \( -7.82 \% \)