Instrucciones. Resuelva las siguientes problemas. Anote el procedimiento que utilizo. 1. Determinar \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\sin (2 x)} \). 2. Sea \( f(x)=\frac{-6 x^{2}+x-1}{x^{2}+3} \). Determinar \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \). 3. Determinar \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5 x+4}-3}{x-1} \). 4. Sea \( f(x)=\frac{x+1}{x e^{x}+e^{x}} \) para \( x \neq-1 \). Si la función \( f \) cumple la igualdad lim \( f(x)=f(a) \) para todo número real \( a \). Determinar \( f(-1) \). 5. Determinar \( \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \sec x \). 6. ¿Cuál es el valor de \( \frac{\mathrm{d}\left(x^{4}-4 x^{2}-10 x\right)}{\mathrm{d} x} \) en \( x=3 \) ? 7. ¿Cuál es el valor de \( \frac{\mathrm{d}(\sec x)}{\mathrm{d} x} \) en \( x=\pi \) ? 8. Sea \( y=\frac{x^{2}+6 x}{10-x^{2}} \). Calcular \( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \). 9. Sea \( g(x)=\sqrt{x} \sin x \). Calcular \( g^{\prime}(x) \). 10. ¿Cuál es la pendiente de la recta secante que interseca la gráfica de \( g(x)=3^{2 x} \) en \( x=0 \) y \( x=2 \) ?

Claro, a continuación se resuelven los problemas planteados con su respectivo procedimiento: --- ### **1. Determinar \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\sin (2 x)} \).** **Procedimiento:** Utilizamos el límite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\). \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{x}{\sin(2x)} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] **Respuesta:** El límite es \(\frac{1}{2}\). --- ### **2. Sea \( f(x)=\frac{-6 x^{2}+x-1}{x^{2}+3} \). Determinar \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \).** **Procedimiento:** Para \(x \to \infty\), comparamos los términos de mayor grado en el numerador y denominador. \[ f(x) = \frac{-6x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3} = \frac{-6 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x^{2}}} \] Al hacer que \(x \to \infty\), los términos con \( \frac{1}{x} \) y superiores tienden a 0. \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{-6}{1} = -6 \] **Respuesta:** El límite es \(-6\). --- ### **3. Determinar \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5 x+4}-3}{x-1} \).** **Procedimiento:** Sustituyendo \(x = 1\), obtenemos una forma indeterminada \(\frac{0}{0}\). Aplicamos racionalización: \[ \frac{\sqrt{5x + 4} - 3}{x - 1} \cdot \frac{\sqrt{5x + 4} + 3}{\sqrt{5x + 4} + 3} = \frac{(5x + 4) - 9}{(x - 1)(\sqrt{5x + 4} + 3)} = \frac{5x - 5}{(x - 1)(\sqrt{5x + 4} + 3)} = \frac{5(x - 1)}{(x - 1)(\sqrt{5x + 4} + 3)} = \frac{5}{\sqrt{5x + 4} + 3} \] Ahora evaluamos el límite: \[ \lim_{x \to 1} \frac{5}{\sqrt{5(1) + 4} + 3} = \frac{5}{\sqrt{9} + 3} = \frac{5}{3 + 3} = \frac{5}{6} \] **Respuesta:** El límite es \(\frac{5}{6}\). --- ### **4. Sea \( f(x)=\frac{x+1}{x e^{x}+e^{x}} \) para \( x \neq -1 \). Si la función \( f \) cumple la igualdad \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) para todo número real \( a \). Determinar \( f(-1) \).** **Procedimiento:** La condición implica que \( f \) es continua en \( x = -1 \), por lo tanto: \[ f(-1) = \lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x e^{x} + e^{x}} = \lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{e^{x}(x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{1}{e^{x}} = \frac{1}{e^{-1}} = e \] **Respuesta:** \( f(-1) = e \). --- ### **5. Determinar \( \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \sec x \).** **Procedimiento:** Sabemos que \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\). Al acercarse \(x\) a \(\frac{\pi}{2}\), \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\). Analizamos los límites laterales: * Si \( x \to \frac{\pi}{2}^- \), \(\cos x\) tiende a 0 por valores positivos, por lo tanto, \(\sec x \to +\infty\). * Si \( x \to \frac{\pi}{2}^+ \), \(\cos x\) tiende a 0 por valores negativos, por lo tanto, \(\sec x \to -\infty\). Dado que los límites laterales no coinciden, el límite no existe en un sentido real extendido. **Respuesta:** El límite no existe; \(\sec x\) tiende a \(+\infty\) por la izquierda y a \(-\infty\) por la derecha. --- ### **6. ¿Cuál es el valor de \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{4}-4 x^{2}-10 x\right) \) en \( x=3 \)?** **Procedimiento:** Primero, derivamos la función: \[ \frac{d}{dx}(x^{4} - 4x^{2} - 10x) = 4x^{3} - 8x - 10 \] Evaluamos en \( x = 3 \): \[ 4(3)^3 - 8(3) - 10 = 4(27) - 24 - 10 = 108 - 24 - 10 = 74 \] **Respuesta:** El valor de la derivada en \( x = 3 \) es \(74\). --- ### **7. ¿Cuál es el valor de \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sec x) \) en \( x=\pi \)?** **Procedimiento:** Sabemos que: \[ \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \] Evaluamos en \( x = \pi \): \[ \sec \pi = \frac{1}{\cos \pi} = \frac{1}{-1} = -1 \\ \tan \pi = \frac{\sin \pi}{\cos \pi} = \frac{0}{-1} = 0 \\ \frac{d}{dx}(\sec x)\Big|_{x=\pi} = (-1)(0) = 0 \] **Respuesta:** El valor de la derivada en \( x = \pi \) es \(0\). --- ### **8. Sea \( y=\frac{x^{2}+6 x}{10-x^{2}} \). Calcular \( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \).** **Procedimiento:** Aplicamos la regla del cociente: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(2x + 6)(10 - x^{2}) - (x^{2} + 6x)(-2x)}{(10 - x^{2})^{2}} \] Simplificamos el numerador: \[ (2x + 6)(10 - x^{2}) + 2x(x^{2} + 6x) = 20x + 60 - 2x^{3} - 6x^{2} + 2x^{3} + 12x^{2} = 20x + 60 + 6x^{2} \] Por lo tanto: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{6x^{2} + 20x + 60}{(10 - x^{2})^{2}} \] **Respuesta:** \[ \frac{dy}{dx} = \frac{6x^{2} + 20x + 60}{(10 - x^{2})^{2}} \] --- ### **9. Sea \( g(x)=\sqrt{x} \sin x \). Calcular \( g^{\prime}(x) \).** **Procedimiento:** Aplicamos la regla del producto y la derivada de funciones compuestas: \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sin x + \sqrt{x} \cos x \] **Respuesta:** \[ g'(x) = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x \] --- ### **10. ¿Cuál es la pendiente de la recta secante que interseca la gráfica de \( g(x)=3^{2 x} \) en \( x=0 \) y \( x=2 \)?** **Procedimiento:** La pendiente de la secante entre dos puntos \( (x_1, g(x_1)) \) y \( (x_2, g(x_2)) \) se calcula como: \[ m = \frac{g(x_2) - g(x_1)}{x_2 - x_1} \] Calculamos \( g(0) \) y \( g(2) \): \[ g(0) = 3^{2 \cdot 0} = 3^{0} = 1 \\ g(2) = 3^{2 \cdot 2} = 3^{4} = 81 \] Entonces: \[ m = \frac{81 - 1}{2 - 0} = \frac{80}{2} = 40 \] **Respuesta:** La pendiente de la recta secante es \(40\). ---