1. Un résonateur de Helmholtz émet une fréquence de 513 Hz . La longueur du col est de 15 mm et le volume de 1 L . Combien mesure la section du col si la température ambiante est de \( 18,7^{\circ} \mathrm{C} \) ?

On considère la formule classique du résonateur de Helmholtz qui relie la fréquence à la géométrie (volume et col) du système :   f = (c / 2π) √[S / (V · L_eff)] où   • f est la fréquence (513 Hz),   • c est la vitesse du son dans l’air,   • S est la section du col,   • V est le volume du résonateur,   • L_eff est la longueur effective du col. Dans un problème élémentaire, on peut négliger les corrections aux extrémités et poser L_eff = L (la longueur du col donnée). Ici, L = 15 mm = 15×10⁻³ m et V = 1 L = 1×10⁻³ m³. La vitesse du son dépend de la température ambiante. Une formule approchée est :   c ≃ 331 + 0,6·T  (en m/s) Pour T = 18,7 °C :   c ≃ 331 + 0,6×18,7 ≃ 331 + 11,22 ≃ 342,22 m/s (On arrondira à environ 342 m/s.) La formule devient :   f = (c / 2π) √[S / (V · L)] On isole S :   f² = (c² / (4π²)) · (S / (V · L))   ⇒ S = (4π² f² V L) / c² Remplaçons par les valeurs numériques :   • f = 513 Hz   • V = 1×10⁻³ m³   • L = 15×10⁻³ m   • c ≃ 342 m/s Calculons : 1. Calcul de 4π²   4π² ≃ 4 × (9,87) ≃ 39,48 2. f²   f² = 513² ≃ 263169 3. Le produit V·L   V·L = (1×10⁻³) × (15×10⁻³) = 15×10⁻⁶ m³ 4. Numérateur   Numérateur = 39,48 × 263169 × 15×10⁻⁶     = (39,48 × 263169) × 15×10⁻⁶     ≈ 10389505 × 15×10⁻⁶     ≈ 155,84 (approximativement) 5. Dénominateur   c² = 342² ≃ 116964 Donc,   S ≃ 155,84 / 116964 ≃ 0,00133 m² En d’autres termes, la section du col est d’environ 1,33×10⁻³ m², soit environ 13,3 cm² (puisque 1 m² = 10⁴ cm²). Ainsi, la section du col mesure environ 1,33×10⁻³ m².