3) APLICA Convierte las siguientes representa. ciones decimales en sus respectivas fracciones, a. \( 3, \overline{1} \) aba b. \( 5,6 \overline{34} \)

Claro, vamos a convertir las representaciones decimales dadas en fracciones. ### a. \( 3,\overline{1} \) (3.1111...) **Paso 1:** Sea \( x = 3,\overline{1} \). \[ x = 3,1111\ldots \] **Paso 2:** Multiplica ambos lados de la ecuación por 10 para trasladar el período decimal. \[ 10x = 31,1111\ldots \] **Paso 3:** Resta la ecuación original de la multiplicada. \[ 10x - x = 31,1111\ldots - 3,1111\ldots \\ 9x = 28 \] **Paso 4:** Resuelve para \( x \). \[ x = \frac{28}{9} \] **Respuesta:** \( 3,\overline{1} = \frac{28}{9} \) --- ### b. \( 5,6\overline{34} \) (5.6343434...) **Paso 1:** Sea \( x = 5,6\overline{34} \). \[ x = 5,6343434\ldots \] **Paso 2:** Identifica la parte no periódica (6) y la periódica (34). La parte periódica tiene 2 dígitos, por lo que multiplicaremos por \( 10^{2+1} = 1000 \) y \( 10^1 = 10 \) para eliminar el período. Multiplicamos por 1000: \[ 1000x = 5634,343434\ldots \] Multiplicamos por 10: \[ 10x = 56,343434\ldots \] **Paso 3:** Resta las dos ecuaciones para eliminar la parte periódica. \[ 1000x - 10x = 5634,343434\ldots - 56,343434\ldots \\ 990x = 5578 \] **Paso 4:** Resuelve para \( x \). \[ x = \frac{5578}{990} \] **Paso 5:** Simplifica la fracción dividiendo numerador y denominador por el máximo común divisor (en este caso, 2). \[ x = \frac{5578 \div 2}{990 \div 2} = \frac{2789}{495} \] **Respuesta:** \( 5,6\overline{34} = \frac{2789}{495} \)