Question
Demostrar que \( \frac{1-\cos (2 x)}{2}=\operatorname{sen}^{2}(x) \)
Ask by Cummings Mills. in Ecuador
Jan 09,2025
Upstudy AI Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
\[
\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \sin^{2}(x)
\]
Solution
Para demostrar la identidad trigonométrica:
\[
\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \sin^{2}(x)
\]
seguimos estos pasos utilizando la **fórmula del ángulo doble para el coseno**.
1. **Fórmula del ángulo doble para el coseno:**
\[
\cos(2x) = 1 - 2\sin^{2}(x)
\]
2. **Reorganizar la fórmula para aislar \( \sin^{2}(x) \):**
Restamos \( \cos(2x) \) de ambos lados de la ecuación:
\[
2\sin^{2}(x) = 1 - \cos(2x)
\]
3. **Dividir ambos lados de la ecuación por 2:**
\[
\sin^{2}(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
\]
Es decir:
\[
\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \sin^{2}(x)
\]
**Conclusión:**
Hemos demostrado que:
\[
\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \sin^{2}(x)
\]
Esta identidad es muy útil en diversas aplicaciones de las matemáticas y la física, especialmente en cálculos que involucran funciones trigonométricas cuadráticas.
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
Like
error msg
Explain 
Simplify this solution Bonus Knowledge
¡Claro! Vamos a demostrar la identidad utilizando algunas propiedades trigonométricas. Primero, recordemos que la función coseno puede ser expresada en términos de senos. Usamos la doble identidad del coseno: \[ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \] Ahora, sustitutamos esta expresión en el lado izquierdo de nuestra ecuación: \[ \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2(x))}{2} \] Simplificando lo que tenemos en el numerador: \[ = \frac{1 - 1 + 2\sin^2(x)}{2} = \frac{2\sin^2(x)}{2} = \sin^2(x) \] Por lo tanto, hemos llegado a: \[ \frac{1-\cos(2x)}{2} = \sin^2(x) \] ¡Y así hemos demostrado la identidad!
